اثبات رابطه همنهشتی زیر چگونه است؟$a \equiv b(mod(m)) $ و $c \equiv d(mod(m))$ $ \Longrightarrow $ $ac \equiv bd(mod(m)) $

Question

اثبات رابطه زیر چگونه است؟

$a \equiv b(mod(m)) $ و $c \equiv d(mod(m))$ $ \Longrightarrow $ $ac \equiv bd(mod(m)) $

با سلام. من برای اثبات این فقط تونستم بنویسم که: $a \equiv b(mod(m))$ یعنی $a-b=mk $ که میشه $a=mk+b $. و برای $c \equiv d(mod(m))$ نوشتم $c-d=mk $ که میشه $c=mk+d$. الان من اگه بخواهم این ها رو در هم ضرب کنم $mk$به توان ۲ میشه. مگر این که بخواهم نظیر به نظیر در هم ضرب کنم. نمی دونم چه طور میشه. ممنون میشم که راهنمایی ام کنید.

Answer 1

به نام خدا.

طبق تعریف همنهشتی می دانیم که:

$m | a-b, \space m | c-d$

چیزی که قرار است ثابت شود این است که $m | ac-bd$

می توان نوشت:

$m | a-b \Longrightarrow m | c(a-b)=ac-bc$

$m | c-d \Longrightarrow m | b(c-d)=bc-bd$

پس :

$m | (ac-bc)+(bc-bd)=ac-bd \Longrightarrow ac \equiv bd \space (mod \space (m))$