چیزی که نیاز دارید قانون لایبنیتز برای مشتقگرفتن از انتگرال است. به فرض تابعهای $a(x)$ و $b(x)$ تابعهایی کراندار و مشتقپذیر باشند و $a(x)<b(x)$، و همینطور تابعِ $f(x,t)$ تابعی دو متغیره و دارای مشتق پارهای (مشتق جزئی) نسبت به $x$، در اینصورت داریم:
$$\frac{d}{dx}\big(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dx\big)=f\big(x,b(x)\big)\frac{d}{dx}b(x)-f\big(x,a(x)\big)\frac{d}{dx}a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt$$
توجه کنید که جایگذاریها در متغیرِ $t$-ِ تابعِ $f$ انجامشدهاند نه در متغیرِ $x$-ِ آن! بعلاوه توجه کنید که مشتقها همگی مشتق ساده هستند نه پارهای به جز آخرین مشتق در داخل انتگرال در سمت راست فرمول.
الآن بیاییم سراغ پرسش شما. چون حرفی از $y$ نه به عنوان متغیر انتگرال و نه به عنوان متغیر مشتق زدهنشدهاست پس در واقع میتوانید خیلی راحت آن را به چشم یک پارامتر ببینید و اصلا بنویسید $f(x)=\int_x^ye^{\cos t}dt$. در هر صورت پاسخ فرقی نخواهد کرد. برای $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$ که همان $\frac{d}{dx}f(x)$ است داریم:
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= e^{\cos y}\frac{d}{dx}(y)-e^{\cos x}\frac{d}{dx}(x)+\int_x^y\frac{\partial}{\partial x}(e^{\cos t})dt\\
&= e^{\cos y}(0)-e^{\cos x}(1)+\int_x^y(0)dt\\
&= -e^{\cos x}
\end{align}
پس بله، پاسخ خودتان اشتباه است. توجه کنید که اشتباههای شما اینها هستند:
- در جلوی جایگذاری کرانها مشتقِ کرانها را باید ضرب میکردید،
- فقط جملههای جایگذاری کرانها نیستند بلکه مشتق داخل انتگرال هم ممکن است سهم داشتهباشد،
- چرا بعد از محاسبه، یک بار دوباره مشتق بگیرید؟ مگر مشتق دوم خواسته شدهاست؟
