اگر$f(x)+f(y)=f(x+y)$و$f(1) \neq 1$ آنگاه $\frac{f(n)}{f(1)} =n$

Question

اگر $f(x)+f(y)=f(x+y)$و $f(1) \neq 1$ ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی

$\frac{f(n)}{f(1)} =n$

اگر$f(x)+f(y)=f(x+y)$و$f(1) \neq 1$ آنگاه $\frac{f(n)}{f(1)} =n$

Comments

باید به جای $f(1) \neq 1$  داشته باشیم $f(1) \neq 0$

Answer 1

برای جواب از استقرا استفاده می کنیم و نشان می دهیم $f(nx)=nf(x) $ برای $n=1 $ بدیهی است فرض کنید $n=2 $ باشد در رابطه ی داده شده در سوال به جای $ y $ هم $ x $ می نویسیم لذا داریم: $(2f(x)=)f(x)+f(x)=f(x+x)(=f(2x))$ حال فرض حکم برای $n-1 $ برقرار باشد یعنی $ f((n-1)x)=(n-1)f(x) $ نشان می دهیم حکم برای $ n $ نیز برقرار است.داریم: $$f(nx)=f( \underbrace{(n-1)x}_{y} +x) =f((n-1)x)+f(x)=(n-1)f(x) +f(x)=nf(x)$$ حال به جای $ $ قرار می دهیم $1$ یعنی $ f(n)=nf(1) $ و با توجه به فرض $f(1) \neq 0 $ با تقسیم بر $ f(1) $ حکم نتیجه می شود.