اگر $\forall x,y\in\mathbb{N}\;\colon\; x\star y=x^y$، آنگاه شرکت پذیری و جابجایی و عضو همانی داشتنِ $(\mathbb{N},\star)$ را بررسی کنید.

Question

آیا عمل دوتایی زیر شرکت پذیر است؟ آیا تعویض پذیر هست؟ و آیا عنصر همانی وجود دارد؟

مجموعهٔ عددهای طبیعی $\mathbb{N}$ را به همراه عمل $\star$ که در زیر تعریف شده است را در نظر بگیرید.

$$\forall x,y\in\mathbb{N}\;\colon\; x\star y=x^y$$

پرسش خواسته‌است که بررسی کنیم که آیا $(\mathbb{N},\star)$ شرکت‌پذیر، جابجایی، و دارای عضو همانی است یا خیر.

تلاش خودم را در زیر نوشته‌ام.

1. $(x\star y)\star z=(x^y)*z=(x^y)^z=x^{yz}$
2. $x\star(y\star z)=x\star(y^z)=((x)^y)^z$

مشکلم اینه آیا برای دومی هم میشه $x^{yz}$؟

پس اگه این طوری بشه طبق 1 و ۲ می تونیم بگیم که شرکت پذیر هست، این صحیح هست؟

برای تعویض‌پذیر بودنش هم با مثال عددی نوشتم تعویض‌پذیر نبود، و برای عنصر همانی هم نمی‌دانم چه طور بنویسم.

ممنون می‌شوم راهنمایی‌ام کنید.

Answer 1

برای شرکت‌پذیری، محاسبه‌های خط شمارهٔ (۱)تان درست هستند. ولی در خط شمارهٔ (۲) آخرین مساوی را اشتباه نوشتید. بنا به تعریف یک چیزی ستاره یک چیز دیگر می‌شود اولی به توان دومی. الآن رابطهٔ پیش از آخرین تساوی‌تان چیست؟ $x\star (y^z)$ پس $x$ به توان $y^z$ نه اینکه $x^y$ به توان $z$! پس باید می‌نوشتید $x^{(y^z)}$ که حاصلش روشن است که با $x^{yz}$ که در خط پیشینش بدست آوردید برابر نیست. مثال؟ قرار دهید $x=2$ و $y=2$ و $z=3$ آنگاه دارید $x^{yz}=2^{2\times 3}=2^6=64$، اما $x^{(y^z)}=2^{(2^3)}=2^8=256$. آیا برابر هستند؟ خیر. پس رابطهٔ شرکت‌پذیری همواره برقرار نیست و زمانی که حتی برای یک حالت برقرار نباشد یعنی ساختار شما شرکت‌پذیر نیست.

اکنون برای جابجایی، خودتان گفتید که مثال نقض یافته‌اید که بهتر بود یکی از این مثال‌نقض‌ها را در متن پرسش می‌نوشتید. خیلی راحت $x=2$ و $y=3$، داریم $x\star y=2^3=8$ در حالیکه $y\star x=3^2=9$ که برابر نیستند پس $x\star y=y\star x$ همواره برقرار نیست و در نتیجه ساختارتان جابجایی نیست.

برای عضو همانی چرا نمی‌دانید چه باید بکنید؟ باید ببینید آیا عدد طبیعی‌ای مانند $e$ هست که برای هر عدد طبیعیِ دلخواه مانند $x$ داشته باشید $x\star e=e\star x=x$ یا خیر. یکی از این دو تساوی را نگاه کنیم. $x\star e=x$ یعنی $x^e=x$ خب تنها گزینهٔ ممکن برای $e$ می‌تواند 1 باشد، عددی غیر از ۱ هست که هر عدد طبیعی‌ای به توان آن برابر با خودش شود؟ خیر. اکنون ببینیم آیا تساوی دوم هم برای این تنها نامزدِ باقی‌مانده برقرار است یا نه. اگر بلی، کار تمام است و ۱ عضو همانیِ این ساختار می‌شود، اگر خیر، آنگاه دیگر هیچ نامزد دیگری برای این جایگاه نمی‌ماند که یعنی ساختار دارای عضو همانی نیست. $1\star x=1^x=1$ که خب همهٔ عددهای طبیعی عدد ۱ نیستند پس مثلا برای $x=2$ رابطهٔ $1\star x=x$ برقرار نیست. پس ساختار دارای عضو همانی نیست. اگر بخواهید دقیق‌تر باشید می‌توانید بگوئيد که ساختارتان عضو همانیِ راست دارد ولی عضو همانی چپ ندارد و در نتیجه عضو همانی دوطرفه هم ندارد.