براي حل معادلات به صورت زير
$$[ax]+b[x]+c=0$$
داريم
$$ \begin{cases}x=n+p & 0 \leq p<1 \Rightarrow [p]=0\\ax=an+ap & 0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0,1,...(a-1)\end{cases} $$
حال جايگذاري ميكنيم
$$[ax]+b[x]+c=0 \Rightarrow [a(n+p)]+b[n+p]+c=0$$
$$ \Rightarrow [an+ap]+b[n+b]+c=0$$
$$ \Rightarrow an+[ap]+b(n+[p])+c=0$$
$$ \Rightarrow an+[ap]+bn+b[p]+c=0,(b[p]=0)$$
$$ \Rightarrow an+bn+[ap]+c=0$$
$$n(a+b)=-(c+[ap])$$
$$n= \frac{-(c+[ap])}{a+b} ,([ap]=0,1
....(a-1) )$$
باتوجه به اينكه $n \in Z$ميباشد بنابراين$(a+b) \mid (c+[ap])$
تا اينجاي كار ما$n$رابدست آورديم
حال باتوجه به$$x=n+p \rightarrow 0 \leq p < 1$$
به نامعادله ي زير ميرسيم $$n \leq p +n< n+1$$
$$ \ n \leq x< n+1$$
$$ \frac{-(c+[ap])}{a+b} \leq x < \frac{-(c+[ap])}{a+b} +1$$
