به ازای کدام مقادیر طبیعی زوج $n$، عبارت $n^2+1$ عددی مرکب می شود؟

Question

به ازای کدام مقادیر طبیعی زوج $n$، عدد $n^2 +1$ عددی مرکب می‌شود؟

• حالت خاص از یه مسئله کلی است که توسط آقای ناصر آهنگرپور در

https://math.irancircle.com/24231

عنوان شد و با اجازه ایشان حالت خاص مطرح کردم تا شاید راه گشایی برای حالت کلی باشد. - توجه کنید برای $n$های فرد واضح است، مهم برای $n$های زوج مورد بحث است. به ازای کدام مقادیر طبیعی زوج $n$ حاصل $n^2 +1$ عدد مرکب یا اول است.

Comments

@amir7788 : با درود به دوست و استاد عزیز؛ اگر بتوانیم برای $n$ شرایطی تعیین کنیم که عبارت الف یا ب مرکب یا اول باشد، تابع مولد اعداد اول ساخته ایم که غیرممکن است. بنظرم سؤال درست این است که در مجموع عبارت الف و ب در چه شرایطی مرکب و در چه شرایطی اول هستند. درخواست سؤال سودمند شما نیز در حالت کلی برآورده میشود. ضمناً باتوجه به به محدودیت شدیدی که اعداد $1,3$ ایجاد کرده اند، پاسخها ممکن است طولانی باشند. پیشنهاد دوستانه بنده این است که موارد الف و ب در پست های جداگانه بررسی شوند. جواب مورد الف نسبتاً ساده تر است ولی مورد ب نیاز به بررسی بیشتری دارد زیرا اتحاد ساده ای در این مورد نداریم. با عرض ارادت و سپاس صمیمانه.

---

@amir7788 زمانی که عبارت کوتاه است، آن را در عنوان بگذارید و از «عبارت زیر» در عنوان استفاده نکنید، مانند ویرایشی که برایتان انجام دادم. خیلی خوب می‌شود اگر پیوند به پستی که در متن پرسش اشاره دارید که پرسش‌تان به آن ربط دارد را هم در متن بیفزائید.

---

@ناصرآهنگرپور و @amir7788 شاید متن زیر برایتان جالب باشد.(متن از کتاب نظریه اعداد انتشارات فاطمی_ تالیف خانم میرزاخانی و خانم بهشتی _صفحه19)

«به طور کلی در مورد هر زیرمجموعه ی نامتناهی از مجموعه ی اعداد طبیعی می توان این سوال را مطرح کرد که آیا این زیرمجموعه شامل تعداد نامتناهی از اعداد اول است؟ در بسیاری موارد پاسخ دادن به این سوال ساده نیست. مثلاً مجموعه اعداد طبیعی به شکل $n^2+1$ را در نظر بگیرید که‌ $n$عضوی از اعداد طبیعی است. هنوز معلوم نیست این مجموعه شامل بی نهایت عدد اول است یا نه، اما ثابت شده است بی نهایت عدد اول به شکلهای $m^2+n^2+1$ و $m^2+n^2+k^2+1$ وجود دارد.»

Answer 1

@amir7788

با درود به دوست و استاد عزیز. بنظر میاد استفاده از روش قبلی در این مورد، مسئله را پیچیده تر میکنه. ساده ترین روش این است که از اتحاد زیر استفاده شود.

$(n- \sqrt{2n}+1)(n+\sqrt{2n}+1)=n^2+1$

همانطور که می بینیم، اگر عبارت $\sqrt{2n}$ بتواند بصورت مربع کامل در آید، آنگاه حاصلضرب سمت چپ اتحاد همیشه عددی مرکب تولید میکند. کافیست $n$ بشکل $2 a^2$ باشد که در آن $a>1$ است. در اینصورت سمت راست همیشه مرکب خواهد بود. برای تجزیه ناپذیری سؤالتان، چون اعداد اول نوع $4m-1$ را نمیتوان بصورت $n^2+1$ نمایش داد، به سراغ اعداد بشکل $4m+1$ می رویم تا ببینیم عبارت فوق در چه صورت تجزیه ناپذیر خواهد بود. چون $4$ مربع کامل است، کافیست m نیز مربع کامل باشد تا عدد اول نوع $n^2+1$ تشکیل شود. اگر فرض کنیم $m=s^2$ ، این یعنی فقط اعداد فرد اول از نوع $(2s)^2+1$ میتوانند بشکل $n^2+1$ در آیند. واضح است که نمیتوان با $s$ های مشخص عدد اول تولید کرد. زیرا با عبارات جبری تک متغیره نمیتوان تابع مولد اعداد اول ساخت. امیدوارم مفید واقع شود.

Answer 2

• واضح است که برای n های فرد بجزء 1 عدد $n^2 +1$ عددی مزکب است.
• برای n های (زوج) که به 2 ختم می شوند بجزء 2 عدد مورد نظر عدد مرکب است چون به 5 ختم می شوند.
• برای n هایی که به 8 ختم می شوند عدد $n^2 +1$ به 5 ختم ختم می شود پس در این حالت نیز عدد مرکب می باشد.
• اما سه حالتی که یکان عدد به 0، 4 و 6 ختم می شه باید بررسی بشه که با چه شرایطی مربع آن بعلاوه یک می تواند عدد مرکب باشد؟برای این سه حالت نشان می دهیم که برای هر کدام زیر مجموعه نامتناهی از آنها وجود دارند که عدد حاصل عدد مرکب است.

حالت اول) اگر n به 4 ختم شود آنگاه

$$n=10m+4 \Rightarrow n^2 +1=100m^2 +80m+17$$ اگر mمضرب 17 باشد، عدد مرکب می باشد

حالت دوم) اگر n به 6 ختم شود آنگاه

$$n=10m+6 \Rightarrow n^2 +1=100m^2 +120m+37$$ اگر mمضرب 37 باشد، عدد مرکب می باشد

حالت سوم) اگر n به 0 ختم شود آنگاه ( این روش آقای ناصر آهنگرپور است که در همین پست در قسمت دیدگاه به آن اشاره کرد.)

$$n=10m \Rightarrow n^2 +1=(n+ \sqrt{2n} +1)(n- \sqrt{2n} +1)=(10m+ \sqrt{4×5m} +1)(10m-\sqrt{4×5m} +1)$$ بنابراین داریم $$m=5k^2 \Rightarrow n=50k^2$$

Comments

@amir7788 : برای حالت $(10n)^2+1$ چون عدد داخل پرانتز تک جمله ایست، راه حل دارد. ولی برای $(10n+6)^2+1$ و $(10n+4)^2+1$ این روش مشکل ساز میشود. گرچه اثبات حالت تجزیه پذیر آن ناممکن نیست ولی اگر راه حلی داشته باشد، ساده نخواهد بود.

---

@آهنگرپور: حالت اولی که اشاره کردید هرچند تک جمله ایی است اما بنظرم ساده نیست. با دو حالت دیگر با شما موافقم. هر چند غیر ممکن وجود ندارد.
اگر بتوانیم  مثلا آنهایی که به 4 ختم می شوند برای زیر مجموعه ای از آن نشان بدهیم  عدد مرکب یا اول است بازم یه قدم به جلوست.

---

@amir7788: با درود. راه حل خود را برای حالت منتهی به $0$ ارئه میدهم. اگر از اتحاد زیر استفاده کنیم

$(10n- \sqrt{20n}+1)( 10n+ \sqrt{20n}+1)=(10n)^2+1$

$\Rightarrow (10n- \sqrt{4×5n}+1)( 10n+ \sqrt{4×5n}+1)=(10n)^2+1$

برای تجزیه پذیری آن کافیست $n$ بصورت $5a^2$ باشد. چون برای حالتهای منتهی به $4,6$ از این نوع اتحادها نمیتوان استفاده کرد و به تناقض منتهی میشود، بدنبال راه حل دیگری هستم. اگر به نتیجه رسیدم، در اختیار دوستان قرار خواهم داد.

---

@ناصر آهنگرپور: در واقع نشان دادید که n هایی که به صفر ختم می شوند اگرn  بدون یکان5برابر مربع کاملی باشد آنگاه $n^2 +1$ عدد مرکب است. یعنی برای زیر مجموعه ای از nهایی که به صفر ختم می شه درسته اما برای بقیه زیر مجموعه مشخص نیست. روشتان عالی است از این جهت که نامتناهی می باشه.

---

@amir7788 : روش شما، هم تمام کننده بود و هم عالی. هیچ ایرادی به پاسختان وارد نیست. این مسئله نشان داد که با همکاری، هیچ مسئله ای حل ناپذیر نیست. این همکاریها قابل تقدیر است.