چرا با مجذورسازی طرفین نامعادلهٔ $-2<\sqrt{|x|} $ و حل نامعادلهٔ قدرمطلقی، جواب دیگری بدست می آید؟

Question

سلام. وقت‌تون بخیر. این نامعادله طبیعتاً جوابش $\mathbb{R}$ هست چون هر عددی جای $x$ قرار بگیره تساوی برقراره. اما چرا اگر دو طرف رو به‌توان دو برسونیم و در نهایت نامعادلهٔ قدر مطلقی به‌دست اومده رو حل کنیم، جواب دیگه‌ای به‌دست می‌آید؟

$$-2<\sqrt{|x|} $$

Answer 1

دو طرف یک نا معادله رو وقتی میتونی به توان برسونی که مثبت باشند

Comments

@chessmathter روی پاسخ‌تان مقداری بیشتر فکر کنید، برای نمونه آیا نمی‌توان طرف‌های نابرابریِ $-1<x$ را بدون دست زدن به نابرابری به توان ۳ رساند؟

Answer 2

به نام خدا

اگر طرفین یک نامساوی مثبت باشند، می‌توان طرفین آن را به‌توان زوج رساند: $$0<b<a \Rightarrow \boxed{b^{2n}<a^{2n}},(n\in\mathbb{N})$$

---

$$-2< \sqrt{|x|}$$

در نامعادلۀ بالا، طرف چپ نامعادله، مثبت نیست. بنابراین نمی‌توان طرفین آن را به‌توان 2 یا کلاً به‌توان زوج رساند. برای توجه و فهم بیشتر، به نامساوی زیر توجه کنید:

$$-4<2$$

این نامساوی درست است. اما وقتی طرفین آن را به‌توان 2 می‌رسانید، به $16<4$ می‌رسید که نادرست است. اما راه‌حل چیست؟ باید چه کار کرد تا بتوان طرفین یک نامساوی را در صورتی که یکی یا هردوی طرف‌های نامساوی منفی باشند، به‌توان زوج رساند؟ برای اینکار فقط کافی است که بعد از اینکه طرفین نامساوی را به‌توان زوج رساندید، طرفی را که در ابتدا منفی بود را بعد از به‌توان رساندن، دوباره منفی کنید. در این صورت دیگر مجموعه جواب‌های نامعادله، تغییری نمی‌کند. برای مثال، همان نامعادلۀ $-2< \sqrt{|x|}$ را در نظر بگیرید. مجموعه جواب‌های این نامعادله، مجموعۀ اعداد حقیقی است و همانطور که پرسشگر در متن پرسش ذکر کرده‌است، بعد از به‌توان دوم رساندن، دیگر مجموعه جواب‌های نامعادله مجموعۀ اعداد حقیقی نخواهد بود. اما برای اینکه تغییری در مجموعه جواب‌های نامعادله ایجاد نشود، بعد از اینکه طرفین آن را به‌توان 2 رساندید، باید آن طرفی که در ابتدا منفی بوده‌است را دوباره منفی کنید.

$$-2< \sqrt{|x|} \Rightarrow 4<|x|$$

حالا اگر طرف چپ را منفی کنید (زیرا در ابتدا طرف چپ منفی بود) به نامعادلۀ $-4<|x|$ می‌رسید که مجموعه جواب‌های آن دقیقاً مثل نامعادلۀ $-2< \sqrt{|x|}$، مجموعه اعداد حقیقی است.