نشان دهید برابریِ $\sin x-x+\frac{\pi}{2}=0$ دست کم یک ریشهٔ حقیقی دارد.

Question

نشان دهید برابریِ زیر دست‌کم یک ریشهٔ حقیقی دارد.

$$\sin x-x+\frac{\pi}{2}=0$$

تلاشی که کردم این بود که نوشتم $\sin x=x-\frac{\pi}{2}$، بعد چه باید بکنم؟

Answer 1

توجه کنید که تابعِ $f(x)=\sin(x)-x+\frac{\pi}{2}$ یک تابع پیوسته است، پس اگر یک بازه پیدا کنید که در یک سر آن مقدار تابع مثبت و در یک سر دیگر آن مقدار تابع منفی شود، خیلی راحت از قضیهٔ مقدارِ میانی نتیجه می‌شود که یک ریشه در این بازه دارید. خب همان ابتدای کار باید سریع ذهنی چند عدد ساده را امتحان می‌کردید برای نمونه ۰ و $\frac{\pi}{2}$ و $\pi$ و $\frac{3\pi}{2}$ و $2\pi$ نه؟

\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline f(x) & \frac{\pi}{2} & 1 & -\frac{\pi}{2} & -1-\pi & -\frac{3\pi}{2}\\ \hline \text{علامت} & + & + & - & - & - \end{array}

پس حتما یک ریشهٔ حقیقی بین $\frac{\pi}{2}$ و $\pi$ دارد.