به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
124 بازدید
در دانشگاه توسط Ssarbazi (2 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید برابریِ زیر دست‌کم یک ریشهٔ حقیقی دارد.

$$\sin x-x+\frac{\pi}{2}=0$$

تلاشی که کردم این بود که نوشتم $\sin x=x-\frac{\pi}{2}$، بعد چه باید بکنم؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)

توجه کنید که تابعِ $f(x)=\sin(x)-x+\frac{\pi}{2}$ یک تابع پیوسته است، پس اگر یک بازه پیدا کنید که در یک سر آن مقدار تابع مثبت و در یک سر دیگر آن مقدار تابع منفی شود، خیلی راحت از قضیهٔ مقدارِ میانی نتیجه می‌شود که یک ریشه در این بازه دارید. خب همان ابتدای کار باید سریع ذهنی چند عدد ساده را امتحان می‌کردید برای نمونه ۰ و $\frac{\pi}{2}$ و $\pi$ و $\frac{3\pi}{2}$ و $2\pi$ نه؟

\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline f(x) & \frac{\pi}{2} & 1 & -\frac{\pi}{2} & -1-\pi & -\frac{3\pi}{2}\\ \hline \text{علامت} & + & + & - & - & - \end{array}

پس حتما یک ریشهٔ حقیقی بین $\frac{\pi}{2}$ و $\pi$ دارد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...