کلا برای حل انتگرال های به صورت $\int_a^b \lfloor f(x)\rfloor dx$ باید ببینیم در چه بازه هایی $f(x)$ بین دو عدد صحیح متوالی قرار می گیرد و سپس از خاصیت خطی انتگرال ها استفاده می کنیم. مثلا $\int_0^2[x]=\int_0^1[x]+\int_1^2[x]=\int_0^1 0+\int_0^1 1=0+1=1$
در اینجا درفاصله $2$ تا $\pi$ چون $0\leq \sin < 1$ و $-1\leq \cos x< 0 $ بنابراین $0\leq \sin x-\cos x< 2$ بنابراین باید ببینیم در کجا $ 0\leq \sin x-\cos x< 1 $ و در کجا $1\leq \sin x-\cos x< 2$
برای حل $\sin x-\cos x> 1$ طرفین را به توان دو برسانیم داریم $\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x>1$
اما چون $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا با جاگذاری داریم $1-2\sin x\cos x> 1$
که معادل است با $\sin 2x=2\sin x\cos x< 0$
اما می دانیم چنانچه $(2n-1)\pi< 2x< 2n\pi$ که $n\in\mathbb Z$ در اینصورت $\sin 2x< 0$
پس از جمله به ازای $n=1$ داریم $\pi< 2x< 2\pi$ یا $\frac \pi2< x< \pi$ یعنی در فاصله $(\frac \pi2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و چون $(2, \pi)\subset (\frac\pi2, \pi)$ پس در $(2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و از طرفی می دانیم $\sin x-\cos x< 2$ پس $\lfloor \sin x-\cos x\rfloor=1$ و داریم
$$\int_2^\pi\lfloor \sin x-\cos x\rfloor =\int_2^\pi 1=\pi-2$$
چون شما گفتید $\int_\pi^2$ پس جواب شما میشه $2-\pi$
