انتگرال$\int_{-\pi}^π x^{2}\cos nxdx$

Question

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید .

$$\int_{-\pi}^π x^{2}\cos nxdx$$

Comments

از روش جدولي كه حالت خاصي از جز به جز است ميتوالنيد حل كنيد
اين نكته هم فراموش نكنيد كه تابع جلوي انتگرال زوج است...

Answer 1

فرض کنید $I=\int_{0}^\pi x^2\cos nx dx$ چون تابع زوج است لذا $\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx dx=2\int_0^\pi x^2\cos nx dx=2I$ . با قرار دادن $$\begin{cases}u=x^2\\ dv=\cos nx dx\end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases}du=2xdx\\ v=\frac 1n\sin nx\end{cases}$$ و استفاده از جز به جز داریم:

$$\require{cancel}I=\cancelto 0 {\frac{x^2}{n}\sin nx|_0^\pi} -\frac 2n\int _0^\pi x\sin nx dx =-\frac 2n\int _0^\pi x\sin nx dx$$

قرار دهید $J=\int _0^\pi x\sin nx dx$ در اینصورت با قرار دادن

$$\begin{cases}u=x\\ dv=\sin nx dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac 1n\cos nx \end{cases}$$

و جزبه جز داریم:

$$\require{cancel}J=-\frac xn \cos nx|_0^\pi -\frac 1n\cancelto 0{\int_0^\pi \cos nxdx}=-\frac \pi n\cos n\pi =-\frac \pi n(-1)^n$$

اما

$$I=-\frac 2n J=-\frac 2n(-\frac\pi n)(-1)^n=\frac {2\pi}{n^2}(-1)^n$$

بنابر این جواب برابر است با $$\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx dx=2I=\frac{4\pi}{n^2}(-1)^n$$