همبافت کزول $ \frac{S}{I} $را بنویسید در صورتی که $I \subset S$ یک ایده ال تکجمله ای باشد

Question

اگر $I \subset S$ یک ایده ال تکجمله ای باشد و $m=( x_{1} , x_{2} .... x_{n} )$یک ایده آل ماکسیمال مدرج از $S$ باشد .همبافت کزول $ \frac{S}{I} $ را بنویسید و نشان دهید $ \frac{ ((I, x_{i+1} , ,... x_{n} ): x_{i} )}{(I,x_{i+1} ,... x_{n} )} $ یک فاکتور مدول $ H_{1}( x_{n} ,.... x_{i} ; \frac{S}{I} ) $است.

Answer 1

همبافت کوزول $K(f,S) $ وابسته به دنباله و رشته$f$ از عناصر در $ S $ است اگر مولدهای $ I $ را عناصر دنباله بگیریم میتونیم همبافت را بنویسیم اما چون در اینجا ایده آل $ I $ مشخص نیست جواب میشه همان روش کلی نوشتن همبافت که در پیوست همان کتاب و در بخش $A.3 $ به صورت کامل آمده است.

اگر در تعریف و نحوه نوشتن همبافت مشکل دارید یک ایده آل تک جمله ای را مشخص کنید(مثال بزنید)(در سوالی دیگر) تا برای آن ایده آل با جزئیات همبافت را بنویسم.

اما برای سوال دوم ابتدا مفهوم فاکتور مدول: فاکتور مدول، مدول $ M $ روی حلقه $ S$ وابسته به زیر مدول $ N $از $ M$ برابر گروه خارج قسمتی $ \frac{M}{N} $ است به طوری که ضرب عنصر $a $ از حلقه در همدسته $ x+N $ برابر $ax+N $ تعریف شود.

حال می دانیم برای $ H_{1}( x_{n} ,.... ,x_{i} ; \frac{S}{I} ) $ دنباله ی دقیق و طولانی زیر را داریم:

$... \rightarrow H_{1}( x_{n} ,.... ,x_{i+1} ; \frac{S}{I} ) \rightarrow H_{1}( x_{n} ,.... ,x_{i} ; \frac{S}{I} ) \rightarrow^{ \varphi } A(i-1) \rightarrow 0$

حال اگر $ ker( \varphi) $ که زیر مدولی از $ H_{1}( x_{n} ,.... ,x_{i} ; \frac{S}{I} ) $ است را در نظر بگیریم آنگاه طبق آنچه گفته شد $ \frac{H_{1}( x_{n} ,.... ,x_{i} ; \frac{S}{I} ) }{ker( \varphi)} $ یک فاکتور مدول از$ H_{1}( x_{n} ,.... x_{i} ; \frac{S}{I} ) $ است اما از آنجایی که $ \varphi $ پوشا است طبق قضیه اول یکسانی ها $ \frac{H_{1}( x_{n} ,.... x_{i} ; \frac{S}{I} ) }{ker( \varphi)} \cong A(i-1)$ پس کافیست $A(i-1)$ را بدست آوریم.

اگر $ (y_{1} ,y_{2} ,...,y_{i-1} , y_{i} ,... )$ یک رشته تقریبا منظم روی $ M$باشد آنگاه

$$ A(i-1)=0:_{ \frac{M}{ (y_{1} ,y_{2} ,...,y_{i-1})M} } y_{i} $$

و در این سوال $M=\frac{S}{I}$ و رشته تقریبا منظم $( x_{n} ,.... ,x_{i+1},x_{i},.. x_{1} ) $ را داریم لذا $ A(i-1)=0:_{ \frac{M}{ (x_{n} ,.... ,x_{i+1})M} } x_{i} $ ابتدا $ \frac{M}{ (x_{n} ,.... ,x_{i+1})M} $ را ساده می کنیم که در آن $ M=\frac{S}{I}$

$(x_{n} ,.... ,x_{i+1})M= (x_{n} ,.... ,x_{i+1})\frac{S}{I}= \frac{(x_{n} ,.... ,x_{i+1})S+I}{I} = \frac{(x_{n} ,.... ,x_{i+1},I)}{I} $

پس:

$$ \frac{M}{ (x_{n} ,.... ,x_{i+1})M} = \frac{\frac{S}{I}}{\frac{(x_{n} ,.... ,x_{i+1},I)}{I} } = \frac{S}{(x_{n} ,.... ,x_{i+1},I)} $$

حال اگر از فرمول $ 0: _{\frac{S}{I}} u= \frac{(I: _{S} u)}{I} $ استفاده کنیم داریم:

$ A(i-1)=0:_{ \frac{M}{ (x_{n} ,.... ,x_{i+1})M} } x_{i} = 0:_{ \frac{S}{(x_{n} ,.... ,x_{i+1},I)} } x_{i} =\frac{ ((I, x_{i+1} , ,... x_{n} ): x_{i} )}{(I,x_{i+1} ,... x_{n} )}$

و حکم ثابت شد