اگر $ x^{2}+x+1=0 $ آنگاه مقدار عبارت زیر را بدست آورید. $$ \sum^{27}_{1}\bigg (\frac{1}{x^i}+x^i\bigg)^2 $$

Question

با فرض اینکه $ x^{2}+x+1=0 $ آنگاه مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید. $$ \sum^{27}_{i=1} \bigg(\frac{1}{x^i}+x^i\bigg)^2 $$

Answer 1

با ضرب طرفین رابطهٔ $x^{2}+x+1=0$ در $x$ مشخص می‌شود که $x^3=1$ و با تقسیم طرفین رابطه بدست آمده بر $x^2$ داریم $\frac{1}{x^2}=x$ .

$$\sum^{27}_{i=1} \bigg(\frac{1}{x^i}+x^i\bigg)^2=\sum^{27}_{i=1} \frac{(1+x^{2i})^2}{x^{2i}}= \sum^{27}_{i=1} \frac{1+x^{4i}+2x^{2i}}{x^{2i}}=\sum^{27}_{i=1}( \frac{1}{x^{2i}}+\frac{x^{4i}}{x^{2i}}+\frac{2x^{2i}}{x^{2i}})=\sum^{27}_{i=1}x^i+\sum^{27}_{i=1}x^{2i}+\sum^{27}_{i=1}2=$$

با استفاده از فرمول مجموع تصاعد هندسی خواهیم داشت: $$=\frac{x(1-x^{27})}{1-x} +\frac{x^2(1-x^{54})}{1-x^2} +2*27= 0+0+54 =54$$ . (چون $x^3=1$ پس $x^{27}=1$و $x^{54}=1$).

Comments

fatemeh20@ اصلاحی که انجام شد درسته؟

---

@good4us بله درسته. احتمالا در نوشتن فرمولها به صورت کدنویسی اشکالی وجود داشته که ایشان رفع کرده اند.

Answer 2

• با ضرب طرفین رابطه $x^2 +x+1=0$ در x خواهیم داشت $x^3=1$ و از طرفی x غیر صفر است و اگر طرفین رابطه بر x تقسیم کنیم آنگاه داریم $x+ \frac{1}{x} =-1$
• حال مجموع را به سه مجموع زیر تفکیک می کنیم $$A=\sum^{9}_{k=1} \bigg(\frac{1}{x^{3k}}+x^{3k}\bigg)^2+\sum^{8}_{k=0} \bigg(\frac{1}{x^{3k+1}}+x^{3k+1}\bigg)^2+ \sum^{9}_{k=1} \bigg(\frac{1}{x^{3k-1}}+x^{3k-1}\bigg)^2 $$ با توجه به $x^{3k}=1$ داریم $$A=\sum^{9}_{k=1} (2)^2+\sum^{8}_{k=0}(\frac{1}{x}+x)^2+ \sum^{9}_{k=1}( x+\frac{1}{x} )^2=36+9+9=54 $$