Question

اگر عبارت $f\big(\frac{1}{x}\big)+ \frac{1}{x} f(-x)=2x $ به ازای تمامی اعداد حقیقی ناصفر برقرار باشد، مقدار $f(2)$ را بیابید.

Comments

متوجه تلاش شما نشدم کافی به جای x یک بار 2-و یه بار 1/2  قرا ر دهید  یه دستگاه دو معادله دو مجهولی بدست می یاید جواب 4/5      می باشه

---

@amir7788
با سلام خدمت شما
همانطور که در پروفایلم میتوانید مشاهده کنید، بنده دانشجوی آموزش ریاضی هستم و این سوال برای بنده به گونه‌ای نیست که بلد نباشم حل کنم پس لازم نیست تلاشی برای آن بنویسم. این سوال را برای دانش آموزان دبیرستانی که به نظر بنده برای آنها مناسب است،  قرار دادم.

---

جواب درست و راه حل عالیست.

Answer 1

$$\text{I}) \text{ } x=-2 \Rightarrow f\big( \frac{-1}{2}\big)+\frac{-1}{2}f(2)=-4 $$ $$\text{II}) \text{ } x=\frac{1}{2} \Rightarrow f(2)+ 2f\big( \frac{-1}{2}\big)=1$$

با تشکیل یک دستگاه دو معادله و دو مجهول، مقدار $f(2)$ برابر می‌شود با $\frac{9}{2}$.

Answer 2

$$f(\frac{1}{x})+ \frac{1}{x} f(-x)=2x\quad (1) $$

این مسئله را به حالت کلی حلش می‌کنیم. با تبدیل $x$ به
$-\frac{1}{x} $ در رابطۀ (1)، به معادلۀ زیر می‌رسیم. $$f(-x)-x f( \frac{1}{x} )=- \frac{2}{x} \quad (2)$$ رابطۀ (1) را در $x$ ضرب می‌کنیم و با رابطۀ (2) جمع می‌کنیم.

$$ f(x) =x^2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f(2)= \frac{9}{2} $$