توجه کنید که اگر $ \frac{p}{q} $ ریشه معادله $ a_{k} x^{k} + a_{k-1} x^{k-1} +...+ a_{1} x + a_0 =0$ با ضرایب صحیح باشد آنگاه $p | a_0$ و $q | a_k$
همچنین با استفاده از اتحاد $Cos3x=4Cos^3x-3Cosx$ و اصل استقراء ریاضی میتوان ثابت کرد که برای هر عددطبیعی $n$ دنباله $ a_{n} , a_{n-1} ,..., a_{1} , a_{0} $ از اعداد صحیح وجود دارد که:
$2Cosnx=(2Cosx)^n+a_{n-1}(2Cosx)^{n-1}+...+a_1(2Cosx)+ a_{0}$
حالا اگر $x$ ضریبی گویا از $ \pi $ باشد یعنی $x= \frac{m}{n} \pi $ و اتحاد بالا را بکار ببرید با توجه به اینکه $ | Cosm \pi | =1$ میتوان نتیجه گرفت $Cosx$ بجز در حالت $-1,0,1$ گنگ است.
حالا اگر $ \alpha $ گویا باشد یعنی $Cos( \alpha \pi )= \frac{1}{3} $ گنگ است که امکان ندارد بنابراین $ \alpha $ گنگ است.
$ \Box $
