معادله $ x^3+x^2+x=1 $ را حل کنید.

Question

در معادله فوق $x$ را محاسبه کنید. $$ x^3+x^2+x=1 $$ برای حل سعی کردم از تجزیه یا تغییر متغیر استفاده کنم ولی نتیجه ای به دنبال نداشت. در WolframAlpha معادله رو وارد کردم و جواب فوق رو نتیجه داد. اما روش حلی موجود نبود. $$ \frac{1}{3} \big( \sqrt[3]{17+3 \sqrt{33} } - \frac{2}{ \sqrt[3]{17+3 \sqrt{33}} }-1 \big) $$

Comments

medanaee@  این معادله یک ریشه حقیقی بین نیم و یک و دو تا ریشه مختلط داره!

---

@medanaee پست‌های زیر را نگاه کنید. برابریِ چندجمله‌ایِ درجهٔ سهٔ تک‌متغیره دارای فرمولِ صریح است (مانند برابریِ درجهٔ دو).
https://math.irancircle.com/blog/218
https://math.irancircle.com/blog/223
https://math.irancircle.com/11485
https://math.irancircle.com/24026

---

@AmirHosein ممنون لینک دوم کمک کننده بود

Answer 1

$ x^{3} + x^{} +x-1=0$

برای تبدیل به حالت خاص $ X^{3} +pX+q=0$ قراردهید $x=X- \frac{b}{3a}=X- \frac{1}{3} $ بنابراین:

$(X- \frac{1}{3} )^3+(X- \frac{1}{3} )^2+X- \frac{1}{3} -1=0 \Rightarrow X^{3} + \frac{1}{3} X- \frac{34}{27} =0$

$ \triangle = \frac{ q^{2} }{4} + \frac{ p^{3} }{27}= \frac{( \frac{-34}{27} )^2}{4}+ \frac{( \frac{1}{3} )^3}{27}= \frac{290}{27^2} \succ 0 , p= \frac{1}{3} \succ 0$

بنابر این معادله فقط یک ریشه حقیقی دارد که از فرمول زیر به دست می آید:

$x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \bigtriangleup } } + \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{ \bigtriangleup }}$