$ x^{3} + x^{} +x-1=0$
برای تبدیل به حالت خاص $ X^{3} +pX+q=0$ قراردهید $x=X- \frac{b}{3a}=X- \frac{1}{3} $ بنابراین:
$(X- \frac{1}{3} )^3+(X- \frac{1}{3} )^2+X- \frac{1}{3} -1=0 \Rightarrow X^{3} + \frac{1}{3} X- \frac{34}{27} =0$
$ \triangle = \frac{ q^{2} }{4} + \frac{ p^{3} }{27}= \frac{( \frac{-34}{27} )^2}{4}+ \frac{( \frac{1}{3} )^3}{27}= \frac{290}{27^2} \succ 0 , p= \frac{1}{3} \succ 0$
بنابر این معادله فقط یک ریشه حقیقی دارد که از فرمول زیر به دست می آید:
$x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \bigtriangleup } } + \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{ \bigtriangleup }}$
