ثابت کنید عمل سطری مقدماتی تعویض دو سطر را میتوان با دنباله ای متناهی از دو عمل سطری مقدماتی دیگر نتیجه گرفت

Question

ثابت کنید عمل سطری مقدماتی تعویض دو سطر را می‌توان با دنباله‌ای متناهی از دو عمل سطری مقدماتی دیگر انجام داد.

Answer 1

سه عمل سطری-مقدماتی را به یاد می‌آوریم. در زیر منظور از $r_i$ سطر $i$اُمِ یک ماتریس است.

1. سطری را با ضریب اسکالری ناصفرش جایگزین کنیم. یعنی اگر $\lambda$ یک عدد حقیقی ناصفر باشد (یا عضو ناهمانی جمعیِ میدان مورد نظر)، آنگاه $r_i$ را می‌توان با $\lambda r_i$ جایگزین کرد.

2. دو سطر را با یکدیگر جابجا کرد. یعنی اگر $i\neq j$ آنگاه به جای $r_i$ بگذاریم $r_j$ و همینطور به جای $r_j$ بگذاریم $r_i$.

3. یک سطر را با جمعش با ضریب اسکالری برابر یک سطر دیگر جایگزین کنیم. یعنی اگر $i\neq j$ و $\lambda\neq 0$ آنگاه $r_i$ را با $r_i+\lambda r_j$ جایگزین کرد.

اکنون می‌خواهیم نشان دهیم که عمل ۲ را بوسیلهٔ دو عمل ۱ و ۳ نیز می‌شود انجام داد. برای این کار باید عمل‌های ۱ و ۳ را بتوان به تعداد متناهی مرتبه انجام داد به گونه ای که حاصل با انجام عمل ۲ یکسان شود. ما این کار را با 4 گام استفادهٔ عمل‌های ۱ و ۳ به شکل زیر انجام می‌دهیم.

$$\begin{align} \begin{bmatrix} \vdots\\ r_i\\ \vdots\\ r_j\\ \vdots \end{bmatrix} &\longrightarrow \begin{bmatrix} \vdots\\ r_i\\ \vdots\\ r_j+(1)(r_i)\\ \vdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vdots\\ r_i\\ \vdots\\ r_j+r_i\\ \vdots \end{bmatrix}\\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} \vdots\\ (-1)r_i\\ \vdots\\ r_j+r_i\\ \vdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vdots\\ -r_i\\ \vdots\\ r_j+r_i\\ \vdots \end{bmatrix}\\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} \vdots\\ -r_i+(1)(r_j+r_i)\\ \vdots\\ r_j+r_i\\ \vdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vdots\\ r_j\\ \vdots\\ r_j+r_i\\ \vdots \end{bmatrix}\\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} \vdots\\ r_j\\ \vdots\\ r_j+r_i+(-1)(r_j)\\ \vdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vdots\\ r_j\\ \vdots\\ r_i\\ \vdots \end{bmatrix} \end{align}$$