ثابت کنید که به ازای هر عدد صحیحِ $a$، یکی از عددهای صحیحِ $a$ و $a+2$ و $a+4$ بر ۳ بخشپذیر است.

Question

ثابت کنید که به‌ ازای هر عدد صحیح $a$ یکی از عددهای صحیح $a$، $a+2$ و $a+4$ بر 3 بخش‌پذیر است.

با سلام. میدونم که اعدادی بر ۳ بخش پذیر هستند که به فرم 3k , 3k+1 , 3k+2 باشند اما نمیدونم چطور باید حل کنم. من این اعداد رو با اعداد a , a+2 ,a+4 مساوی قرار دادم و بعد از بخش پذیری استفاده کردم.

Comments

@M.SH جملهٔ «میدونم که اعدادی بر ۳ بخش پذیر هستند که به فرم 3k , 3k+1 , 3k+2 باشند» اشتباه است! اعدادی که بر ۳ بخش‌پذیر هستند به شکل $3k$ نوشته می‌شوند و اعدادی که بر ۳ بخش‌پذیر نیستند به شکل $3k+1$ یا $3k+2$ نوشته می‌شوند. اگر هر سه شکل برای عددهای بخش‌پذیر بر ۳ می‌بودند آنگاه هر عددی باید بر ۳ بخشپذیر می‌بود!

---

@AmirHosein بله درسته. باقی مانده های هر عددی تقسیم بر ۳ میشه صفر، یا یک، یا دو.
من در سوالم اشتباه نوشتم، ببخشید. ممنون از راهنماییتون.

Answer 1

خیلی راحت توجه کنید که

$$\begin{array}{l} a \overset{3}{\cong} a\\ a+2 \overset{3}{\cong} a+2\\ a+4 \overset{3}{\cong} a+3+1 \overset{3}{\cong} a+1\\ \end{array}$$

خب مگر نباید از سه عدد پشت‌ِسرهم (متوالی) دقیقا یکی از آنها بر ۳ بخش‌پذیر باشد؟ پس دقیقا یکی از $a$، $a+1$ و $a+2$ باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد و بنا به همنهشتی‌های بالا این هم‌ارز با این است که یکی از سه عددِ $a$ و $a+2$ و $a+4$ بر ۳ بخش‌پذیر باشد.

فرض کنیم همنهشتی را نیاموخته‌اید. سه حالت برای $a$ بگیرید، یا به شکل $3k$ یا $3k+1$ یا $3k+2$ نوشته می‌شود، نه؟ در هر سه حالت مجموعهٔ $\lbrace a, a+2, a+4\rbrace$ را بازنویسی کنید. در اینجا یکی از سه حالت را می‌نویسیم، برای نمونه حالتِ $a=3k+1$، در این حالت داریم

$$\begin{array}{l} a = 3k+1\\ a+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1)\\ a+4=3k+1+4=3k+5=3(k+1)+2 \end{array}$$

که یعنی دقیقا یکی از سه عدد $a$ و $a+2$ و $a+4$، یعنی $a+2$ بر ۳ بخش‌پذیر شد. دو حالت دیگر را خودتان می‌توانید بنویسید و ببینید که دقیقا یکی از سه عدد بر ۳ بخش‌پذیر می‌شود و این برای اثبات کافی است.

Comments

@AmirHosein تفاوت $\cong$ با $\equiv$، در هم‌نهشتی چیست؟

---

@Math.Al «همنهشتی به پیمانه» یک مفهوم است.
نمادِ $\cong$ نمایشِ دستورِ cong در TeX است که ابتدایِ واژهٔ congruent یعنی «همنهشت» است. نمادِ $\equiv$ نمایشِ دستورِ equiv در TeX است که ابتدایِ واژهٔ equivalent یعنی «هم‌ارز» است. برخی برای «همنهشتی به پیمانه»، از cong و برخی از equiv در TeX استفاده می‌کنند.