خط Δ خارج از مثلث ABC مفرض است. عمود هایی بر Δ فرود می آوریم و وسط خط های عمود را به هم وصل می کنیم. مثلث ایجاد شده نصف مثلث مفروض است

Question

درود وقت بخیر خط Δ در خارج مثلث ABC مفروض است. عمود های A'A و B'B و C'C را بر Δ فرود می آوریم و اوساط آنها را "A",B",C می نامیم. ثابت کنید که مساحت "A"B"C نصف مساحت ABC است. عزیزان فقط اگر کتابی برای حل امثال این ها وجود داره من را راهنمایی فرمایید سپاس.

Comments

آیا اهمیت داره که خط خارج مثلث باشه؟

Answer 1

لم

پاره خط $EF$ موازی قاعده های ذوزنقه $ABCD$ است. داریم: $d=kc$

اثبات

$\frac{2(s3+s4)}{2(s1+s2)}=\frac{(ak+bk)(m+n)}{(a+b)(m+n)}=k$

$\Rightarrow 2(s3+s4)=2k(s1+s2)$

$\Rightarrow(ka+d)m+(kb+d)n=k(a+c)m+k(b+c)n$

$\Rightarrow kam+dm+kbn+dn=kam+kcm+kbn+kcn$

$\Rightarrow dm+dn=kcm+kcn$

$\Rightarrow d(m+n)=kc(m+n)$

و در نهایت داریم:

$\Rightarrow d=kc$

مسئله

در ذوزنقه $BCC'B'$ داریم:

$CC''=C'C''$

$BB''=B'B''$

و همچنین $A'M$ موازی دو قاعده است پس با توجه به لم خواهیم داشت:

$A'N=MN\Rightarrow A'N=\frac{A'M}{2}\qquad(k=1)$

و با توجه به فرض میدانیم:

$A'A''=\frac{AA'}{2}$

بنابر تساوی های بالا نتیجه میگیریم:

$A''N=A'A''-A'N=\frac{AA'}{2}-\frac{A'M}{2}=\frac{AA'-A'M}{2}=\frac{AM}{2}\Rightarrow \frac{AM}{A''N}=2$

و در نهایت:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A''B''C''}}=\frac{S_{ABM}+S_{ACM}}{S_{A''B''N}+S_{A''C''N}}=\frac{\frac{1}{2}(AM\cdot A'B'+AM\cdot A'C')}{\frac{1}{2}(A''N\cdot A'B'+A''N\cdot A'C')}=\frac{AM\cdot(A'B'+A'C')}{A''N\cdot(A'B'+A'C')}=\frac{AM}{A''N}=2$

Comments

ممنون از پاسخی که دادید. فرض کنیم خط Δ با BC موازی بود آیا این لِم جواب می دهد؟

---

@hosseinmodarresi
بله در آن صورت $AD$ و $BC$ موازی خواهند بود که در روند اثبات لم چیزی را نقض نمیکند. ضمن اینکه اگر لم را نقض کند از آنجا که حالت خاص است اثبات آن راحت تر خواهد بود.