به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
91 بازدید
در دبیرستان توسط hosseinmodarresi (16 امتیاز)
ویرایش شده توسط hosseinmodarresi

درود وقت بخیر خط Δ در خارج مثلث ABC مفروض است. عمود های A'A و B'B و C'C را بر Δ فرود می آوریم و اوساط آنها را "A",B",C می نامیم. ثابت کنید که مساحت "A"B"C نصف مساحت ABC است. عزیزان فقط اگر کتابی برای حل امثال این ها وجود داره من را راهنمایی فرمایید سپاس.

توضیحات تصویر

توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
آیا اهمیت داره که خط خارج مثلث باشه؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط moh_amin (352 امتیاز)
انتخاب شده توسط hosseinmodarresi
 
بهترین پاسخ

لم

پاره خط $EF$ موازی قاعده های ذوزنقه $ABCD$ است. داریم: $d=kc$

توضیحات تصویر

اثبات

$\frac{2(s3+s4)}{2(s1+s2)}=\frac{(ak+bk)(m+n)}{(a+b)(m+n)}=k$

$\Rightarrow 2(s3+s4)=2k(s1+s2)$

$\Rightarrow(ka+d)m+(kb+d)n=k(a+c)m+k(b+c)n$

$\Rightarrow kam+dm+kbn+dn=kam+kcm+kbn+kcn$

$\Rightarrow dm+dn=kcm+kcn$

$\Rightarrow d(m+n)=kc(m+n)$

و در نهایت داریم:

$\Rightarrow d=kc$

مسئله

توضیحات تصویر

در ذوزنقه $BCC'B'$ داریم:

$CC''=C'C''$

$BB''=B'B''$

و همچنین $A'M$ موازی دو قاعده است پس با توجه به لم خواهیم داشت:

$A'N=MN\Rightarrow A'N=\frac{A'M}{2}\qquad(k=1)$

و با توجه به فرض میدانیم:

$A'A''=\frac{AA'}{2}$

بنابر تساوی های بالا نتیجه میگیریم:

$A''N=A'A''-A'N=\frac{AA'}{2}-\frac{A'M}{2}=\frac{AA'-A'M}{2}=\frac{AM}{2}\Rightarrow \frac{AM}{A''N}=2$

و در نهایت:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A''B''C''}}=\frac{S_{ABM}+S_{ACM}}{S_{A''B''N}+S_{A''C''N}}=\frac{\frac{1}{2}(AM\cdot A'B'+AM\cdot A'C')}{\frac{1}{2}(A''N\cdot A'B'+A''N\cdot A'C')}=\frac{AM\cdot(A'B'+A'C')}{A''N\cdot(A'B'+A'C')}=\frac{AM}{A''N}=2$

توسط hosseinmodarresi (16 امتیاز)
ممنون از پاسخی که دادید. فرض کنیم خط Δ با BC موازی بود آیا این لِم جواب می دهد؟
توسط moh_amin (352 امتیاز)
@hosseinmodarresi
بله در آن صورت $AD$ و $BC$ موازی خواهند بود که در روند اثبات لم چیزی را نقض نمیکند. ضمن اینکه اگر لم را نقض کند از آنجا که حالت خاص است اثبات آن راحت تر خواهد بود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...