لم
پاره خط
$EF$
موازی قاعده های ذوزنقه
$ABCD$
است.
داریم:
$d=kc$
اثبات
$\frac{2(s3+s4)}{2(s1+s2)}=\frac{(ak+bk)(m+n)}{(a+b)(m+n)}=k$
$\Rightarrow 2(s3+s4)=2k(s1+s2)$
$\Rightarrow(ka+d)m+(kb+d)n=k(a+c)m+k(b+c)n$
$\Rightarrow kam+dm+kbn+dn=kam+kcm+kbn+kcn$
$\Rightarrow dm+dn=kcm+kcn$
$\Rightarrow d(m+n)=kc(m+n)$
و در نهایت داریم:
$\Rightarrow d=kc$
مسئله
در ذوزنقه
$BCC'B'$
داریم:
$CC''=C'C''$
$BB''=B'B''$
و همچنین
$A'M$
موازی دو قاعده است پس با توجه به لم خواهیم داشت:
$A'N=MN\Rightarrow A'N=\frac{A'M}{2}\qquad(k=1)$
و با توجه به فرض میدانیم:
$A'A''=\frac{AA'}{2}$
بنابر تساوی های بالا نتیجه میگیریم:
$A''N=A'A''-A'N=\frac{AA'}{2}-\frac{A'M}{2}=\frac{AA'-A'M}{2}=\frac{AM}{2}\Rightarrow \frac{AM}{A''N}=2$
و در نهایت:
$\frac{S_{ABC}}{S_{A''B''C''}}=\frac{S_{ABM}+S_{ACM}}{S_{A''B''N}+S_{A''C''N}}=\frac{\frac{1}{2}(AM\cdot A'B'+AM\cdot A'C')}{\frac{1}{2}(A''N\cdot A'B'+A''N\cdot A'C')}=\frac{AM\cdot(A'B'+A'C')}{A''N\cdot(A'B'+A'C')}=\frac{AM}{A''N}=2$
