به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
160 بازدید
در دبیرستان توسط mahdi411 (4 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

سلام و وقت بخیر

تعدادی کامپیوتر در یک فضای دو بعدی پراکنده هستند. همۀ این کامپیوترها قرار است به‌وسیلۀ یک سیم، مستقیم به یک دستگاه وصل بشوند.

  1. دستگاه در چه نقطه‌ای قرار بگیرد تا مقدار سیم مورد نیاز برای ارتباط بین کامپیوترها و دستگاه حداقل باشد؟ (آیا میانگین نقاط $x$ و میانگین نقاط $y$ می‌تواند نقطۀ بهینه باشد؟)
  2. اگر سیم‌ها فقط بتوانند موازی با محورهای اصلی ($x,y$) کشیده شوند، دراین حالت محل بهینۀ دستگاه کجا خواهد بود؟
  3. اگر کامپیوترها در دو طبقه با ارتفاع $z$ پراکنده باشند، محل بهینۀ دستگاه کجا می‌تواند باشد؟
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
سوال جالبی است ترجیح می دادم هر مورد بعنوان یه سوال جداگانه مطرح می شد.خوشحالم از اینکه اولین امتیاز به اولین فعالیت شما دادم.ورودتان به جمع مون تبریک می گم.
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
+1
@mahdi411 می‌توانستید ابتدا فقط مورد ۱ را بپرسید و با پاسخی که می‌گرفتید، به موردهای بعدی خودتان فکر می‌کردید و اگر نمی‌توانستید حل کنید یک مورد دیگر را می‌پرسیدید و به همین طریق. همیشه سعی کنید خودتان فکر کنید و تلاش کنید نه اینکه کل سوال‌هایتان را بگذارید و منتظر فکرکردنِ دیگران باشید! بعلاوه هیچ چیزی پیرامون اینکه خودتان پیش از گذاشتن پرسش در این سایت چه کارهایی برای حل آن انجام دادید یا چه چیزی را متوجه نمی‌شوید ننوشته‌اید! همیشه باید تلاش خودتان را اشاره کنید.

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

نکته: تابع زیر با فرض $a_i\leq a_{i+1} $ در نظر بگیرید $$f(x) = \sum _{i=1}^n|x-a_i| $$ در حالت $n=2k $ مینیمم f در بازه $x\in[a_k, a_{k+1}] $ اتفاق می افتد. و در حالت $n=2k-1 $ مینیمم f در نقطه $x=a_k $ اتفاق می افتد.

جواب مورد2) فرض کنیم مکان n کامپیوتر در صفحه به مختصات \begin{bmatrix}a_i\\b_i\end{bmatrix} و مکان نقطه مورد نظر \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} باشد آنگاه تابع فاصله به صورت زیر است. $$f(x, y) = \sum _{i=1}^n(|x-a_i|+|y-b_i|) $$ $$= \sum _{i=1}^n|x-a_i|+ \sum _{i=1}^n|y-b_i| $$ می نیمم تابع برابر با مجموع می نیمم های دو مجموع(سیگما)، با توجه به نکته بالا در حالت n=2k تابع در سطح مستطیلی ( $a_i $ ها را بصورت صعودی مرتب کرده و با $c_i $ نمایش می دهیم به طور متشابه برای $b_i $ ها که با d نمایش می دهیم.) $$x\in[ c_k, c_{k+1}]\quad y \in[d_k, d_{k+1}] $$ به می نیمم خود می رسد.

و در حالت $n=2k-1 $ با توجه به نکته بالا f در نقطه زیر مینیمم می شود. \begin{bmatrix}c_k \\d_k \end{bmatrix}

در نتیجه شیوه کار به این صورت است که در راستای افقی از بین مولفه های دوم، نقطه (1یا2 نقطه) وسط را پیدا کنید و خط افقی از آن نقطه (ها) رسم کنید همین کار برای راستای قائم برای مولفه های اول نیز انجام می دهیم در این صورت به یک سطح مستطیلی یا پاره خط یا نقطه خواهیم رسید که جواب مسئله می باشد.

توجه کنید که می توان به فضای سه بعدی تعمیم داد.

–2 امتیاز
توسط Imaninezhad (10 امتیاز)
ویرایش شده توسط Imaninezhad

در حالتی که 4 کامپیوتر داشته باشیم و هیچ سه تای آنها روی یک خط قرار نداشته باشند محل برخورد اقطار چهارضلعی ایجاد شده پاسخ است.

توسط moh_amin (352 امتیاز)
ویرایش شده توسط moh_amin
@Imaninezhad
با تشکر از پاسخ شما
در مورد صحت گزاره جمله آخر مطمئن هستید؟
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
حالت‌های زیادی وجود دارد به ویژه دربعضی مواقع جواب یک نقطه نیست. اگر 4 کامپیوتر در یک راستا مثلاABCDباشندآنگاه هر نقطه پاره خطBC جواب می باشد پس یکتایی مطرح نیست. در حالی که میانگین، یکتا می باشه.
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
اما راه حل خوبی عنوان نمودید، بنظرم مشتق رادیکالی درست نباشه؟
توسط Imaninezhad (10 امتیاز)
–1
دلایل را با عکس اضافه کردم
توسط Imaninezhad (10 امتیاز)
یک کسر وقتی برابر صفر است که صورت آن صفر باشد به همین خاطر اصلا مخرج آن را ننوشته ام.
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
یک کسر نیست بلکه مجموع چند کسر با مخرجها غیریکسان می باشند.
توسط Imaninezhad (10 امتیاز)
حق با شماست اشتباه کرده ام. اما به نظر می رسد بتوان این طوری اصلاحش کرد که وقتی d کمترین مقدار را دارد که d^2 کمترین مقدار را داشته باشد و به این طریق از شر رادیکال ها خلاص شد
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
اگر سیگما زیر رادیکال باشه راه حل درسته ولی بنظرم سیگما زیر رادیکال نمی باشه؟ لطفا بررسی کنید
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
حالا  dدرست شده یعنی سیکما را از زیر رادیکال خارج کردید اما حالا در نحوه مشتق گیری مشکل وجود داره؟
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
به چه دلیل می نیمم d و e معادلند؟
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
دونقطه یکی در مبدا و دیگر در مکان 1 روی محور xها در نظر بگیرید مکان دستگاه را با تعریف  d و e  بدست آورید به دو جواب متفاوت می رسید چطور ممکنه این دو معادل باشند؟
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
اگر 4 کامپیوتر به ترتیب در مکان‌های A, B, C, D باشند آنگاه محل برخورد(اشتراک) قطرها(پاره خط) AC وBD جواب می باشد. (در صورت وجود اشتراک)
چند حالت اتفاق می افتد
حالت اول) اگر 4ضلعی محدب باشه، همانطور که اشاره کردید نقطه تلاقی قطرها آن جواب است.

حالت دوم) فقط سه نقطه مثلاA, B, C  در یه راست باشندآنگاهB محل برخورد است و جواب می باشه.

حالت سوم) هر 4 نقطه در یک راسته باشه آنگاه مکان‌های اشتراک پاره خط BC می باشد که محل قرار دادن دستگاه است.

*)توجه کنید که برای چهار ضلعی غیر محدب عنوان نکردم چون  اشتراک قطرها تهی است، به نظرم راسی که سبب غیر محدب شدن آن شد جواب می باشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...