حداکثر تقسیم یک صفحه به چند ناحیه مختلف با رسم 10 خط

Question

با رسم 10 خط، یک صفحه حداکثر به چند ناحیه ی مختلف تقسیم می شود؟ (هندسه و استدلال) با رسم n خط، در حالت کلی یک صفحه به چند ناحیه تقسیم می شود؟ خوب توضیح دهید

Comments

@Sam11 به نظرتان مرجع «مسابقات ریاضی» کافی است تا شما را به نسخهٔ اصلی این پرسش برساند؟ برای نمونه اگر آدرس پستی را بر روی نامه بنویسید «ایران»، به نظرتان ادارهٔ پست، نامه‌تان را ارسال می‌کند؟ یا اصلا می‌تواند بداند کدام خانه در ایران منظور شما بوده‌است؟ مسابقات ریاضی زیادی وجود دارد، مقطع، مرحله، کشور، سال؟
بعلاوه اگر به جای شما باشم، به جای اینکه بنویسم «خوب توضیح دهید»، تلاش یا فکر خودم را می‌نویسم و اشاره می‌کنم که چرا نتوانستم حل کنم یا حداقل چند حالتی که چک کردم را می‌نوشتم و می‌گفتم فلان مقدار و فلان مقدار ناحیه را بدست آوردم ولی نمی‌دانم از این تعداد بیشتر هم می‌توان تقسیم کرد یا خیر، لطفا راهنمایی کنید.

Answer 1

زمانی بیشترین ناحیه ایجاد می شود که خط ها متمایز و همدیگر را قطع کنند و هیچ سه خط از یک نقطه مشترک نگذرند.

حالا فرض کنید $n$ خط $a_n$ ناحیه با این شرایط ایجاد کنند:واضح است که $a_1=2$ و $a_2=4=$ (یک علامت ضرب را در صفحه امتداد دهید) و $a_3=7$ (ضلعهای یک مثلث در صفحه را امتداد دهید).حالا فرض کنید $n-1>2$ خط $a_{n-1}$ ناحیه را ایجاد کرده باشند.وقتی خط شماره $n$ اضافه می شود هر کدام از $n-1$ خط قبلی را قطع می کند و چون بین این خط ها با دو ناحیه کناری $n$ ناحیه است بنابر این خط شماره $n$ درست از این $n$ ناحیه قبل می گذرد و هر کدام از این ناحیه ها را دو قسمت می کند در نتیجه $n$ ناحیه جدید اضافه می شود بنابر این:

$a_n=a_{n-1}+n \Rightarrow a_n-a_{n-1}=n$

$ \Rightarrow (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}+a_{n-2})+...+(a_2-a_1)=n+(n-1)+...2$

$ \Rightarrow a_n-a_1=2+3+...+n \Rightarrow a_n=a_1+2+3+...+n=2+2+3+...+n=1+(1+2+3+...+n)$

$=1+ \frac{1}{2} n(n+1)$

$ \Box $