زمانی بیشترین ناحیه ایجاد می شود که خط ها متمایز و همدیگر را قطع کنند و هیچ سه خط از یک نقطه مشترک نگذرند.
حالا فرض کنید $n$ خط $a_n$ ناحیه با این شرایط ایجاد کنند:واضح است که $a_1=2$ و $a_2=4=$ (یک علامت ضرب را در صفحه امتداد دهید) و $a_3=7$ (ضلعهای یک مثلث در صفحه را امتداد دهید).حالا فرض کنید $n-1>2$ خط $a_{n-1}$ ناحیه را ایجاد کرده باشند.وقتی خط شماره $n$ اضافه می شود هر کدام از $n-1$ خط قبلی را قطع می کند و چون بین این خط ها با دو ناحیه کناری $n$ ناحیه است بنابر این خط شماره $n$ درست از این $n$ ناحیه قبل می گذرد و هر کدام از این ناحیه ها را دو قسمت می کند در نتیجه $n$ ناحیه جدید اضافه می شود بنابر این:
$a_n=a_{n-1}+n \Rightarrow a_n-a_{n-1}=n$
$ \Rightarrow (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}+a_{n-2})+...+(a_2-a_1)=n+(n-1)+...2$
$ \Rightarrow a_n-a_1=2+3+...+n \Rightarrow a_n=a_1+2+3+...+n=2+2+3+...+n=1+(1+2+3+...+n)$
$=1+ \frac{1}{2} n(n+1)$
$ \Box $
