به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
136 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)

رقم سمت چپ حاصل 30 فاکتوریل چه رقمی می باشد؟ من توانستم یکان وتعداد صفر ها را محاسبه کنم .خواستم ببینم آیا فرمولی برای یافتن آن وجود دارد؟

توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
تشکر از جناب عالی معلمی این سوال را در کلاس به دانش آموزان داد.
توسط amir7788 (2,934 امتیاز)
احتمالا منظورش اولین رقم غیر صفر از راست بود.
برای کدام پایه سوال مطرح کرد؟
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
برای ششم ابتدایی
توسط amir7788 (2,934 امتیاز)
مطمئنا برای این پایه رقم یکان بود.
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
–1
معلم سوال اشتباه داد.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (305 امتیاز)

سلام.

بلی راه حلی کلی وجود دارد.این کار بزرگ را ریاضیدان بزرگ لژاندر برای ما انجام داده است.(اثباتش هم در کتاب نظریه اعداد مریم میرزاخانی و انرو آدلر و ... آمده است).

قضیه لژاندر:اگر $S(p)$ بزرگترین توان از عدد اول $p$ باشد که $n!$ را عاد میکند برابر است با:

$S(p)=[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...$

واضح است که جملات از مرحله ای به بعد همگی $0$ اند.

حالا با توجه به اینکه $10=2 \times 5$ و هر $0$ درانتهای اعداد غیر $0$ در واقع حاصل ضرب یک $2$ و یک $5$ است پس تعداد صفرها در $n!$ برابر است با $min {S(2),S(5)} $.

$S(2)=[ \frac{30}{2} ]+[ \frac{30}{4} ]+[ \frac{30}{8} ]+[ \frac{30}{16} ]+[ \frac{30}{32} ]+...=15+7+3+0...=25$

$S(5)=[ \frac{30}{5} ]+[ \frac{30}{25} ]+[ \frac{30}{125} ]+...=6+1+0+...=7$

پس $30!$ به $7$ صفر ختم می شود.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...