یافتن رقم سمت چپ حاصل 30 فاکتوریل

Question

رقم سمت چپ حاصل 30 فاکتوریل چه رقمی می باشد؟ من توانستم یکان وتعداد صفر ها را محاسبه کنم .خواستم ببینم آیا فرمولی برای یافتن آن وجود دارد؟

Comments

تشکر از جناب عالی معلمی این سوال را در کلاس به دانش آموزان داد.

---

احتمالا منظورش اولین رقم غیر صفر از راست بود.
برای کدام پایه سوال مطرح کرد؟

---

برای ششم ابتدایی

---

مطمئنا برای این پایه رقم یکان بود.

---

معلم سوال اشتباه داد.

Answer 1

سلام.

بلی راه حلی کلی وجود دارد.این کار بزرگ را ریاضیدان بزرگ لژاندر برای ما انجام داده است.(اثباتش هم در کتاب نظریه اعداد مریم میرزاخانی و انرو آدلر و ... آمده است).

قضیه لژاندر:اگر $S(p)$ بزرگترین توان از عدد اول $p$ باشد که $n!$ را عاد میکند برابر است با:

$S(p)=[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...$

واضح است که جملات از مرحله ای به بعد همگی $0$ اند.

حالا با توجه به اینکه $10=2 \times 5$ و هر $0$ درانتهای اعداد غیر $0$ در واقع حاصل ضرب یک $2$ و یک $5$ است پس تعداد صفرها در $n!$ برابر است با $min {S(2),S(5)} $.

$S(2)=[ \frac{30}{2} ]+[ \frac{30}{4} ]+[ \frac{30}{8} ]+[ \frac{30}{16} ]+[ \frac{30}{32} ]+...=15+7+3+0...=25$

$S(5)=[ \frac{30}{5} ]+[ \frac{30}{25} ]+[ \frac{30}{125} ]+...=6+1+0+...=7$

پس $30!$ به $7$ صفر ختم می شود.

$ \Box $