سلام.
بلی راه حلی کلی وجود دارد.این کار بزرگ را ریاضیدان بزرگ لژاندر برای ما انجام داده است.(اثباتش هم در کتاب نظریه اعداد مریم میرزاخانی و انرو آدلر و ... آمده است).
قضیه لژاندر:اگر $S(p)$ بزرگترین توان از عدد اول $p$ باشد که $n!$ را عاد میکند برابر است با:
$S(p)=[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...$
واضح است که جملات از مرحله ای به بعد همگی $0$ اند.
حالا با توجه به اینکه $10=2 \times 5$ و هر $0$ درانتهای اعداد غیر $0$ در واقع حاصل ضرب یک $2$ و یک $5$ است پس تعداد صفرها در $n!$ برابر است با $min \{S(2),S(5)\} $.
$S(2)=[ \frac{30}{2} ]+[ \frac{30}{4} ]+[ \frac{30}{8} ]+[ \frac{30}{16} ]+[ \frac{30}{32} ]+...=15+7+3+0...=25$
$S(5)=[ \frac{30}{5} ]+[ \frac{30}{25} ]+[ \frac{30}{125} ]+...=6+1+0+...=7$
پس $30!$ به $7$ صفر ختم می شود.
$ \Box $
