فرمولی برای تولید اعضای مجموعهٔ $\lbrace 55,-555,5555,-55555,555555\rbrace$ بنویسید.

Question

مجموعهٔ $\lbrace 55,-555,5555,-55555,555555\rbrace$ را به صورت ریاضی (توصیفی) بنویسید.

تلاش من: می‌شود با گذشتن از علامت‌ها مجموعه را به صورت$5(9/ (1-(10^k)))$ به صورتی که $k$ بزرگتر مساوی 2 و کوچکتر مساوی 6 باشد. اما چگونه با احتساب علامت‌ها می‌توانیم این کار را انجام دهیم؟

Comments

@remeimariza در عبارت $(-1)^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}$ ضرب کنید.

---

@matt اگر منظورتان از $n$ تعداد رقم‌ها است که پرسش‌کننده با $k$ نمایش داده‌است، آنگاه اشتباه است چون دنبالهٔ منفی یک‌هایتان برابر با $\lbrace 1,-1,-1,1,1\rbrace$ می‌شود که برای دو جملهٔ سوم و چهارم نادرست است. اگر هم منظورتان از $n$ خود عددهای ۵۵ و ۵۵۵ و ... است که باز هم نادرست است چون دنبالهٔ منفی یک‌هایتان برابر با دنبالهٔ ثابت منفی یک می‌شود و مثبت یک هرگز ظاهر نمی‌شود. به پاسخ زیر نگاه کنید، خود $k$ به تنهایی در توان منفی یک کافی است و نیازی به پیچیده‌تر کردنِ عبارت داخل توان نیست.

---

@remeimariza فرمول‌های ریاضی را با کمک امکانات سایت تایپ کنید و آنها را بین علامت‌های دلار بگذارید تا درست نمایش داده شوند. دو پست زیر می‌توانند راهنمای خوبی برایتان باشند. برای نمونه جای صورت و مخرج در فرمول آخرتان اشتباه تایپ شده‌است. برای ویرایش پست‌تان بر روی علامت مداد سمت چپ پائین پست‌تان کلیک کنید.
https://math.irancircle.com/۵۲
https://math.irancircle.com/۵۶

Answer 1

ساختنِ 55 و ۵۵۵ و ۵۵۵۵ و ۵۵۵۵۵ و ۵۵۵۵۵۵ را درست انجام داده‌اید، کسرهای $\frac{10^k-1}{9}$ برای عددهای طبیعیِ $2\leq k\leq 6$ به شما ۱۱ و ۱۱۱ و ۱۱۱۱ و ۱۱۱۱۱ و ۱۱۱۱۱۱ را می‌دهند که با ضرب در ۵ عددهای خواسته شده را می‌سازد. تنها چیزی که مانده‌است درگیر کردنِ منفی‌ها به صورتِ یک‌درمیان است. که این هم کاری ندارد. توجه کنید که توان‌های منهای یک، یک‌درمیان برابر با مثبت یک و منفی یک می‌شوند پس کافی است یک منهای یک با توانی که یک واحد یک واحد اضافه می‌شود در عبارت‌تان ضرب کنید. اما چه چیزی در توان بگذاریم؟ توجه کنید که وقتی دو رقم دارید که شما با $k=2$ در عبارت‌تان ایجاد می‌کنید توان باید مثبت باشد و از طرفی هم $(-1)^2$ برابر با مثبت یک است، و همینطور زمانی که $k=3$ نیاز به منفی یک دارید که $(-1)^3$ آن را می‌دهد. پس در اینجا کارتان ساده است و نیاز به فکر زیادی ندارید، $(-1)^k$ خیلی ساده منفی یک‌ها را همانطور که می‌خواهید ایجاد می‌کند. پس عبارت نهایی می‌شود:

$$(-1)^k(5)\frac{10^k-1}{9}$$

اگر عضو نخست به ای ۵۵، برابر بود با $-55$ و عضو بعدی به جای $-555$ برابر بود با ۵۵۵، آنگاه به جای $k$ در توانِ $(-1)$ کافی بود از $k+1$ یا $k-1$ استفاده کنید. پست‌های دیگری هم در همین سایت هستند که منفی یک‌ها یا چیزهای دیگری را با ترتیب‌های گوناگونی ایجاد می‌کنند که می‌توانید نگاه کنید و ترفندهایشان را بیاموزید. برای نمونه پست‌های زیر:

• https://math.irancircle.com/18434
• https://math.irancircle.com/18350
• https://math.irancircle.com/10945
• https://math.irancircle.com/19464