چرا $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1-\frac{n^\pi}{\pi^n}}=1$ ؟

Question

در مورد اثبات حد زیر راهنمایی بفرمایید.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1-\frac{n^\pi}{\pi^n}}=1$$

Answer 1

به جای اثبات اینکه حد کل کسر 1 می باشه می توان ثابت کرد حد مخرج کسر 1 می باشه و به جای این هم کافی است نشان دهیم $$ \lim_{n\to \infty} \frac{n^{\pi} }{ \pi^{n} } =0 $$ برای اثبات از قضیه فشار استفاده می کنیم $$ \frac{n^{3} }{ 4^{n} } \leq\frac{n^{\pi} }{ \pi^{n} }\leq\frac{n^4 }{ 2 ^n } $$ حد کسرهاصفر است.