اجتماع اعضای نیم حلقه

Question

نشان دهید هر اجتماع متناهی یا شمارش پذیر از اعضای نیم حلقه برابر است با به ترتیب اجتماع متناهی یا شمارش پذیر از اعضای دوبه دو جداازهم نیم حلقه.

Comments

کسی نتونست حل کنه این سوال جالب رو؟

---

ولی لزومی نداره که وقتی B اندیس i به صورت اجتماع دو به دو مجزا از اعضای نیم حلقه شد این اجتماع داخل نیم حلقه باشه.

---

@مهران
لطفا زیر پاسخ من دیدگاه بذارید و از @ استفاده کنید تا من متوجه دیدگاه هاتون بشم. ممنون.
صورت سوال شما میگه اجتماع شمارش پذیر از اعضای دو به دو جدا از هم نیم حلقه! نگفتید که این اجتماع داخل نیم حبقه باشه یا نباشه.
اگر هنوز کامل متوجه نشدید لطفا بهم اطلاع بدید.

---

@سوال میگه اجتماع برابر با اعضای دوبه دو جداازهم نیم حلقه.شما چیزی که به دست آوردید یعنی اجتماع دوبه دو جداازهم.پس اثبات هنوز کامل نیست.

---

اون چیزی که من به دست آوردم اجتماع دو به دو جدا از هم اعضای $S$ هست! و $S$ هم نیم حلقه.
من که نوشتم :" به صورت اجتماع مجموعه های از هم جدای در $S$ " .

---

نیم حلقه نسبت به اجتماع که بسته نیست.شما میگید که b ها به صورت اجتماع اعضای نیم حلقه s می باشد ولی لزوما این b ها توی خود نیم حلقه نیستند.

---

قضیه 2.9 آلیپرانتیس: اگر $A$ و $A_1,...,A_n$ در نیم حلقه $S$ باشند آنگاه $A\setminus \cup_1^nA_i$ را می توان به صورت اجتماعی متناهی از مجموعه های از هم جدا از $S$ نوشت."
حالا من $B_1$ رو گرفتم $A_1$ و $B_2=A_2\setminus B_1$ در اینصورت بنابرقضیه بالا $B_2$ برابر است با اجتماع متناهی از مجموعه های از هم جدای $S$ . و به همین شکل سایر B_i ها... .
و من اصلا نگفتم این $B_i $ها درون نیم حبقه هستند! گفتم به صورت اجتماع متناهی مجزا از اعضای نیم حلقه هستند.
درسته؟!

---

این کتاب آلیپرانتیس رو ببینید
Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide
صفحه 134 لم 3.4

---

مهران جان من فعلا دسترسی به اون کتاب ندارم.
بعدا نگاه میندازن.
ولی حالا میشه لطفا بگید اون چیزی که حالا من نوشتم درسته یا نه؟ مشکلش چیه!؟

---

خوب دیدم فکر کنم منظورتون لم 4.7 هست. دقیقا همون قضیه ای که در بالا گفتم!

---

بله درسته منظورم لم 4.7 بود.خب الان معلومه دیگه دنباله c اون کتاب این دنباله b شما نیست.دلیلشم واضحه چرا که سوال میگه ثابت کنید اجتماع شمارش پذیر از اعضای نیم حلقه برابر اجتماع شمارش پذیر از اعضای دوبه دو جدا از هم نیم حلقه.
ببینید میگه اعضای دوبه دو جدا از هم  نیم حلقه.شما ثابت کردید اجتماع a برابر اجتماع b و b ها هم دو به دو جدا از هم هستند و اجتماع اعضای نیم حلقه هستند.ولی خود این b ها لزوما توی نیم حلقه نیستند که اثبات تمام بشه.در اینجا باید گفته بشه با یک تجدید آرایش می توان دنباله c اندیس k را ساخت که خواسته مسئله ارضا بشه.
امیدوارم منظورم رو رسونده باشم.

---

من در اینجا اومدم $B_i$ ها رو تعریف کردم و اصلا نگفتم $B_i$ ها در نیم حلقه هستند. بلکه گفتم $B_i$ ها به صورت اجتماع مجزای متناهی از اعضای نیم حلقه هستند.
شما میگید من گفتم:
" شما ثابت کردید اجتماع a برابر اجتماع b و b ها هم دو به دو جدا از هم هستند و اجتماع اعضای نیم حلقه هستند"
من اینو نگفتم! من گفتم هر $B_i$ به صورت اجتماع متناهی مجزا از اعضای نیم حلقه هستند!
این جمله من یعنی چی؟یعنی $B_i$=\cup_1^{m_i}C_j که $C_j$ ها اعضای نیم حلقه هستند و مجزا.
دیگه نمیدونم والله. شاید بهتره یک شخص سومی قضاوت کنه. به نظر من خیلی واضحه. شایدم شما همش فکر کردید $B_i$ ها جداب مساله هستند!! بلکه من گفتم $B_i$ ها به صورت اجتماع مجزای متناهی از اعضای نیم حلقه هستند که اون مجموعه ها جواب مساله هستند.

---

شما جوابی که گذاشتین ناقصه و شکی نیست در این موضوع دلیلشم کتاب پرانتز.اینکه میگید من گفتم b ها به صورت اجتماع مجزای متناهی از اعضای نیم حلقه هستند که اون مجموعه ها جواب مساله هستند واضحه که همچین چیزی نگفتین کجا شما همچین چیزی گفتین؟

---

ولی از نظر من کاملا درست نوشتم!
کجا نوشتم؟ پاسخ رو ببینید!
در 7 دیدگاه قبل هم گفتم:"   
قضیه 2.9 آلیپرانتیس: اگر A و A1,...,An در نیم حلقه S باشند آنگاه A∖∪n1Ai را می توان به صورت اجتماعی متناهی از مجموعه های از هم جدا از S نوشت."
حالا من B1 رو گرفتم A1 و B2=A2∖B1 در اینصورت بنابرقضیه بالا B2 برابر است با اجتماع متناهی از مجموعه های از هم جدای S . و به همین شکل سایر B_i ها... .
و من اصلا نگفتم این Biها درون نیم حبقه هستند! گفتم به صورت اجتماع متناهی مجزا از اعضای نیم حلقه هستند.
درسته؟!"
در دیدگاه زیر پاسخ هم نوشتم!
شما فقط  میگید من ننوشتم $B_i$ به صورت $C_j$ در حالیکه گفتم! فقط اسم $C_j$ رو نیاوردم.بازم پاسخ رو بخونید.
به هر حال خداروشکر به جواب سوالتون رسیدید. موفق باشید.

Answer 1

فرض کنید $\{A_i\}_1^\infty $ گردایه ای شمارا از اعضای نیم حلقه $S$ بر مجموعه $X$ باشد. در اینصورت قرار می دهیم:

$B_1=A_1,B_n=A_n\setminus\cup_1^{n-1}A_i$ در اینصورت بنابر قضیه 2.9 در کتاب aliprantis می توان $B_i$ ها را به صورت اجتماع مجموعه های از هم جدای در $S$ نوشت.

Comments

الان یعنی با این اوصاف اثبات کامله؟

---

@مهران dh128
لطفا در زیر پاسخ دیدگاه بذارید به جای ارسال پاسخ.
بله دیگه الان اثبات واضحه. در کجا مشکل دارید؟
الان اجتماع $A_i$ ها برابر است با اجتماع $B_i$ ها. و  هر $B_i$ برابر با اجتماعی از مجموعه های از هم جدای واقع در $S$ هستند پس در واقع اجتماع $A_i$ ها برابر است با اجتماع شمارا از مجموعه های از هم جدای واقع در $S$ .