به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
91 بازدید
در دبیرستان توسط Alirahnama (1 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

سلام وقت بخیر تعداد اعداد طبیعی ۳ رقمی را بیابید که دورقم سمت راست مربعشان با دو رقم سمت راست خودشان نظیر باشد(مانند:225²=50625 که دو رقم سمت اخرش ۲۵ هست)

مرجع: المپیاد ریاضی۹۸
توسط amir7788 (2,738 امتیاز)
+1
المپیاد ریاضی کدام پایه و کدام مرحله می باشد. مرجع کاملتر بیان کنید.ضمنا ورود جنابعالی به محفل ریاضی خوش آمد می گم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Elyas1 (4,339 امتیاز)
انتخاب شده توسط Alirahnama
 
بهترین پاسخ

توجه کنید که وقتی یک عدد با چنین خاصیتی را به توان دو می رسانیم رقم یکان آن رقم یکان قبلش به توان دو می باشد. پس قدم اول حل این مسئله یافتن تمام اعداد تک رقمی است که اگر به توان دو برسند رقم یکان آن ها برابر خود عدد می شود. با یک بررسی ساده تنها اعداد تک رقمی $0 , 1, 5, 6$ دارای چنین خاصیتی اند. به عنوان مثال رقم یکان $5^2=25$ با عدد $5$ برابر است.

حال عدد سه رقمی $n= \overline{abc} $ را در نظر بگیرید. دو رقم سمت راست آن به شکل $10b +c$ می باشد. دو رقم سمت راست $n^2$ را می یابیم:

$n^2 = (100a + 10b +c)^2 =10000a + 100b + 2000ab + 200ac + 20bc + c^2 $

دو رقم سمت راست $n^2$ در حاصل جمع $20bc + c^2$ می باشد. قرار دهید:

$A = 20bc + c^2 -10b-c$

عدد $A$ یا صفر است یا عددی بیشتر مساوی سه رقم با دو رقم سمت راست صفر(مثلا 200).

با توجه به توضیحات ابتدای پاسخ عدد $c$ می تواند از اعداد $0, 1, 5, 6$ باشد. پس حالت بندی می کنیم:

حالت اول: $c=0$.

$A= -10b \Longrightarrow b=0$

تعداد این اعداد برابر با 9 می باشد.

حالت دوم: $c=1$.

$A= 20b +1 -10b -1 = 10b \Longrightarrow b=0 $

تعداد این اعداد هم برابر با 9 می باشد.

حالت سوم: $c=5$.

$A= 100b + 25 - 10b -5 =90b+20$

توجه کنید که $b \neq 0$. زیرا اگر باشد آنگاه $A$ عددی دو رقمی می شود. پس $A=100x$ که $x$ عددی طبیعی است. پس:

$100x = 90b +20 \Longrightarrow 10x = 9b +2 \Longrightarrow x= \frac{9b+2}{10} \Longrightarrow 10 | 9b+2$

می دانیم که برای هر عدد طبیعی $b$ داریم $10 | 10b$. پس:

$10 | 10b-9b-2 \Longrightarrow 10 | b-2$

که تنها می تواند $b=2$. تعداد این اعداد 9 تا می باشد.

حالت چهارم: $c=6$.

$A=120b + 36 -10b - 6= 110b +30 \Longrightarrow 100x =110b + 30 \Longrightarrow 10x= 11b + 3 \Longrightarrow 10 | 11b +3 \Longrightarrow 10 | b+3$

که تنها $b=7$. تعداد این اعداد هم برابر 9 می باشد.

پس تعداد کل این اعداد برابر با $36$ می باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...