توجه کنید که وقتی یک عدد با چنین خاصیتی را به توان دو می رسانیم رقم یکان آن رقم یکان قبلش به توان دو می باشد. پس قدم اول حل این مسئله یافتن تمام اعداد تک رقمی است که اگر به توان دو برسند رقم یکان آن ها برابر خود عدد می شود. با یک بررسی ساده تنها اعداد تک رقمی $0 , 1, 5, 6$ دارای چنین خاصیتی اند. به عنوان مثال رقم یکان $5^2=25$ با عدد $5$ برابر است.
حال عدد سه رقمی $n= \overline{abc} $ را در نظر بگیرید. دو رقم سمت راست آن به شکل $10b +c$ می باشد. دو رقم سمت راست $n^2$ را می یابیم:
$n^2 = (100a + 10b +c)^2 =10000a + 100b + 2000ab + 200ac + 20bc + c^2 $
دو رقم سمت راست $n^2$ در حاصل جمع $20bc + c^2$ می باشد. قرار دهید:
$A = 20bc + c^2 -10b-c$
عدد $A$ یا صفر است یا عددی بیشتر مساوی سه رقم با دو رقم سمت راست صفر(مثلا 200).
با توجه به توضیحات ابتدای پاسخ عدد $c$ می تواند از اعداد $0, 1, 5, 6$ باشد. پس حالت بندی می کنیم:
حالت اول: $c=0$.
$A= -10b \Longrightarrow b=0$
تعداد این اعداد برابر با 9 می باشد.
حالت دوم: $c=1$.
$A= 20b +1 -10b -1 = 10b \Longrightarrow b=0 $
تعداد این اعداد هم برابر با 9 می باشد.
حالت سوم: $c=5$.
$A= 100b + 25 - 10b -5 =90b+20$
توجه کنید که $b \neq 0$. زیرا اگر باشد آنگاه $A$ عددی دو رقمی می شود. پس $A=100x$ که $x$ عددی طبیعی است. پس:
$100x = 90b +20 \Longrightarrow 10x = 9b +2 \Longrightarrow x= \frac{9b+2}{10} \Longrightarrow 10 | 9b+2$
می دانیم که برای هر عدد طبیعی $b$ داریم $10 | 10b$. پس:
$10 | 10b-9b-2 \Longrightarrow 10 | b-2$
که تنها می تواند $b=2$. تعداد این اعداد 9 تا می باشد.
حالت چهارم: $c=6$.
$A=120b + 36 -10b - 6= 110b +30 \Longrightarrow 100x =110b + 30 \Longrightarrow 10x= 11b + 3 \Longrightarrow 10 | 11b +3 \Longrightarrow 10 | b+3$
که تنها $b=7$. تعداد این اعداد هم برابر 9 می باشد.
پس تعداد کل این اعداد برابر با $36$ می باشد.
