اثبات هم ارزی حد مجموع توابع هم ارز

Question

فرض کنید $a\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$

ثابت کنید اگر : $$f(x)\sim g(x)$$ $$h(x)\sim p(x)$$ $$\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{p(x)}\not=-1$$

آنگاه:

$${f(x)+h(x)}\sim{g(x)+p(x)}$$

(همه هم ارزی ها در شرایط $x\to a$ تعریف شده اند)

مرجع:گویا قضیه و احتمالا اثباتش توی کتاب ریاضیات عمومی از دکتر بیژن شمس هست ولی متاسفانه موفق به پیدا کردن کتاب نشدم

Answer 1

تعریف هم ارزی دو تابع $f(x)$ و $g(x) $ در نقطه a: $ \lim_{x\to a} g(x)$ = $ \lim_{x\to a} f(x) $

و

$ \lim_{x\to a} f(x)/g(x) =1$

حال با توبجه به تعریف داریم:

$ \lim_{x\to a} g(x)+p(x)/f(x)+h(x) = \lim_{x\to a} g(x)+p(x)/g(x)+p(x) = 1$

بنابراین مجموع آن ها نیز هم ارز است $ $