آیا همبند بودن و همبند مسیری بودن برای زیرمجموعه های $\mathbb{R}^n$ با توپولوژی اقلیدسی یکسان است؟

Question

آیا گزارهٔ »یک زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$ همبند است اگر و تنها اگر همبندِ مسیری باشد درست است؟ چرا؟

Comments

@saba-m عنوانی که گذاشته بودید یعنی «ثابت کنید یک زیرمجموعه از R^{n} همبند است اگرو تنها اگر همبند مسیری باشد.» این را می‌رساند که این گزاره باید حتما درست باشد و فقط اثبات آن خواسته شده‌است. در حالیکه بعدا در متن پرسش نوشته‌اید «ثابت کنید یک زیرمجموعه از R^{n} همبند است اگرو تنها اگر همبند مسیری باشد.درغیر اینصورت مثال نقض پیدا کنید.» که هم‌معنا نیست! این یکی یعنی معلوم نیست این گزاره درست است یا خیر و از شما این را می‌پرسد که آیا درست است و سپس دلیل‌تان را بیاورید!
شاید فکر کنید که خب چه اهمیتی دارد؟ ولی دقیقا همین سهل‌انگاری‌های جزئی باعث می‌شود که در یادگیری به مشکل بربخورید. همیشه عنوان و متن را درست بنویسید. این دفعه من برایتان ویرایش کردم ولی دفعه‌های بعدی روی معنای جمله‌ها بیشتر فکر کنید و دقیق‌تر بنویسید.
و اما پاسخ پرسش‌تان. به جای اینکه پاسخ را برایتان بنویسم بهتان پیشنهاد می‌کنم که تمرین‌های مرتبط کتاب درسی‌تان را نگاه کنید برای نمونه کتاب تولوژی مانکرز دقیقا بخش بحث همبندی و همبندی مسیری را نگاه کنید صد در صد پاسخ پرسش‌تان را می‌بینید. همیشه پیش از پرسیدن پرسش از دیگران تلاش کنید خودتان پاسخ‌تان را با جستجو یا فکر بدست آورید. و اگر پس از تلاش کردن هنوز به پاسخ نرسیدید، آنگاه پرسش را پست کنید و در ادامهٔ متن به تلاش‌هایی که کردید دقیقا اشاره کنید. برای نمونه کتاب‌های x و y را نگاه کردم ولی چیزی مرتبط نیافتم سپس برداشتم تعریف فلان را اینطوری کردم بعد فلان شد ولی در انتها به نتیجه نرسید یا اینکه فلان زیرمجموعه‌ها را نگاه کردم و بنا به این چند مثال حدس می‌زنم جواب فلان باشد و ...

Answer 1

این گزاره درست نیست. در واقع اگر مجموعه ای همبند راهی (مسیری) باشد آنگاه حتمن همبند است.اما عکس این گزاره درست نیست. یعنی میتوان مجموه هایی ساخت که همبند باشند اما همبند راهی نباشند. مثال: $A={ \{(0,0)\} } \bigcup \{ {(x,Sin \frac{1}{x} ) | 0 \prec x \preceq 1}\} $

و $B$ ساخته شده در زیر

$S= \{0\} \bigcup \{ \frac{1}{n} | n \in N\} $

$T=[0,1] \times \{a\} \bigcup S \times [0,1]$

$B= \{(x,y) \epsilon T \mid 0 \prec y \prec \frac{1}{2} \} $

با توپولوژی معمولی ( فاصله ) در صفحه دو بعدی همبند راهی نیستند. به خاطر طولانی بودن اثبات به کتاب توپولوژی عمومی پیام نور نوشته استاد علیرضا جمالی مراجعه فرمائید.