در تعریف جمعِ اعداد طبیعی، چطور تصمیم گرفتند که $a + S(b)$ را به شکل $S(a + b)$ تعریف کنند؟

Question

اگر بخواهیم عملگر «جمع» را برای اعداد طبیعی (دقت کنید که در این پرسش، صفر را هم جزو اعداد طبیعی گرفته‌ام) به‌طور دقیق تعریف کنیم، معمولاً به این شکل آن را تعریف می‌کنند (برای مثال در این لینک به بخش «Definitions» بروید):

$$a, b \in\mathbb{N}, +: \begin{cases}a + 0 = a & \\a + S(b) = S(a + b) &\end{cases}$$

توجه کنید که $S$ در اینجا نماد تابع پَسین می‌باشد که به هر عدد طبیعی، تالی‌اش یعنی عدد طبیعی‌ای که بلافاصله بعدش می‌آید را نسبت می‌دهد (به عنوان نمونه $S(0) = 1$ و $S(6) = 7$). برگردیم به تعریف اعداد طبیعی. خط اولِ تعریف ($a + 0 = a$) که کاملاً بدیهی است؛ «صفر» در حقیقت به معنای «هیچ» است و وقتی که تعدادی سیب مثلاً ۵ سیب دارید، اگر صفر سیب به سیب‌هایتان اضافه کنید، یعنی هیچ سیبی اضافه نکردید، پس همان تعداد را خواهید داشت و در حقیقت با همان تعداد اولیه‌ای که داشتید برابر است. اما پرسش من در رابطه با خط دومِ تعریف ($a + S(b) = S(a + b)$) است. چرا و چگونه در خط دوم، تصمیم گرفتند که $a + S(b)$ را برابر با $S(a + b)$ تعریف کنند؟ احتمالاً می‌گوئید که اگر تابع پسین را به شکل $S(x) = x + 1$ تعریف، و سپس در $a + S(b) = S(a + b)$ جایگذاری کنیم، به تساوی‌ای بدیهی می‌رسیم و خط دوم تعریف نیز توجیه می‌شود. اما به نظر من اینطور نیست. تابع پسین را به شکل $S(x) = x + 1$ تعریف و در $a + S(b) = S(a + b)$ جایگذاری کنید. به عبارت زیر می‌رسید:

$$a + (b + 1) = (a + b) + 1$$

این تساوی زمانی درست است که خاصیت شرکت‌پذیریِ «جمع» را اثبات کرده باشیم، اما وقتی هنوز جمع را کامل تعریف نکردیم، چطور می‌توانیم خاصیت شرکت‌پذیریِ جمع را اثبات کنیم یا حداقل فرض گرفت؟! پس خاصیت شرکت‌پذیریِ جمع نمی‌تواند علت تعریف تساوی بالا باشد. پس علت تعریفش چیست؟

Answer 1

این چیزی نیست به جز نوشتنِ تعریف جمع به روش استقرایی. در تعریف ویژگیِ شرکت‌پذیری فرض گرفته نشده، بلکه اگر این تعریف را به عنوان تعریف جمع برداشتید، سپس باید از این تعریف استفاده کنید و ویژگی شرکت‌پذیری را ثابت کنید.

چیزی که پشت این تعریف رخ می‌دهد چیز خاصی نیست به جز خود جمع. اگر شما حاصلِ جمعِ افزودن ۲ سیب به ۳ سیب را بدانید، آنگاه به نظرتان حاصل جمعِ افزودن ۲ سیب به یک دانه بیشتر از ۳ سیب چه می‌شود؟ و معنای عمگرِ $S$ که «عددِ پسین» نامیده‌اید چیزی نیست به جز عمل افزودنِ عددِ ثابتِ ۱ به یک عدد دیگر. پس $S(a)$ دقیقا یعنی $a+1$. پس این تعریف آمده در متن پرسشِ شما در حال استفاده از دو پایه است و نه یکی! نه تنها افزودنِ صفر به یک عدد دلخواه را از قبل دانسته‌شده گرفته‌است، بلکه افزودنِ یک به یک عدد دلخواه را نیز از قبل دانسته شده گرفته‌است. پس از اینکه این دو را از قبل تعریف کردیم، آنگاه برمی‌دارد و استقرایی برای افزودن هر عدد طبیعی دیگر به یک عدد دلخواه را نیز تعریف می‌کند.

Comments

جمع به نوعی تابع تالی است.
برای هر مجموعه x تالی آن را با x+1 یا x به توان + نشان میدهیم و به صورت زیر تعریف می شود:
x+1=xU{x}
که با این تعریف و تعریف اعداد به صورت جان فون نویمان یعنی:
0={} , 1={0} , 2={0،1} و بطور کلی
n+1={1,2,...n}
و با بکار بردن قضیه بازگشت و پذیره های پئانو برای تابع تالی روی اعداد طبیعی  و شروع صفر تابع جمع تعریف می شود.
این کار در کتاب نظریه مجموعه های اندرتون فوق العاده زیبا انجام شده است.