Question

اگر g(x) و F(x) به ترتیب تابع معکوس تابع f(x) و تابع اولیه f(x)باشند نشان دهید: $ \int g(x)dx=xg(x)-F(g(x))+C$ تلاش من:از روش جز به جز و تعریف مشتق تابع وارون جلو رفتم ولی آخرش کمی به مشکل برخوردم.

Comments

@mansour دقیقا همین جز به جزی که می‌گوئید را تایپ کنید تا دقیقا همانجایی که به مشکل برخوردید!

Answer 1

چون $F$ و $g$ به ترتیب تابع اولیه و معکوس تابع $f$ است پس:

$ F' =f,fog=gof=I$

( تابع همانی است $I$ ) از طرفی دیگر:

$ \frac{d}{dx} (xg(x)-F(g(x))=1g(x)+x g' (x)- g' (x) F' (g(x)))$$

$=g(x)+x g' (x)- g' (x)f(g(x))=g(x)+x g' (x)- g' (x)x=g(x)$

$ \Rightarrow xg(x)-F(g(x))= \int g(x)dc-C \Rightarrow \int g(x)dx=xg(x)-F(g(x))+C$

$ \Box $