به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
180 بازدید
در دبیرستان توسط Amir Hossein (547 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

دبیر محترم ریاضی آقای الماسی پرسش زیر را داده‌اند که نمی‌دانم چگونه برای حلش اقدام کنم.

عددهای ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۸ را طوری در چهارگوش‌های زیر بچینید که حاصل $2^{14}$ بشود.

$$\Box^\Box\times\Box^\Box\times\Box^\Box=2^{14}$$

4 پاسخ

+4 امتیاز
توسط fardina (16,722 امتیاز)
انتخاب شده توسط Amir Hossein
 
بهترین پاسخ
$2^5\times 4^3\times 8^1$
توسط Amir Hossein (547 امتیاز)
+2
بسیار عالی
+4 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us

چون حاصل سمت راست تنها شمارنده‌اش ۲ است پس عددهای ۳ و ۵ نمی‌توانند در پایه‌های سمت چپ گذاشته‌شوند. در نتیجه برای چینش پایه‌ها چهار حالت بیشتر نداریم. توجه کنید که جابجایی در ضرب تغییری ایجاد نمی‌کند بنابراین بدون کاستن از کلیت سه پایه را به ترتیب کوچکتر به بزرگتر گذاشته‌ایم و جایگشت‌هایشان را به عنوان حالت مستقل در نظر نمی‌گیریم.

\begin{align} 1^a\times 2^b\times 4^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,5,8\rbrace\\ 1^a\times 2^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,4,5\rbrace\\ 1^a\times 4^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 2,3,5\rbrace\\ 2^a\times 4^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 1,3,5\rbrace\\ \end{align}

که به ما چهار دستگاه تک‌برابری با سه مجهول می‌دهد با فضای پاسخ متناهی.

\begin{align} b+2c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,5,8\rbrace\\ b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,4,5\rbrace\\ 2b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 2,3,5\rbrace\\ a+2b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 1,3,5\rbrace\\ \end{align}

هر یک از این برابری‌ها ۶ سه‌تایی مرتب به عنوان نامزد برای پاسخ ممکن دارند (توجه کنید که از ابتدا فرض کرده‌ایم که هر عددی تنها در یک مربع در پرسش اصلی می‌تواند استفاده شود). که خیلی راحت خیلی از این نامزدها را می‌توان حذف کرد برای نمونه برای $c$ نمی‌توان از ۵ و ۸ استفاده کرد. دستگاه یکُم یک پاسخ دارد که @good4us در پاسخ‌شان آورده‌اند. دستگاه دوم یک پاسخ دارد که @shahabmath در پاسخ‌شان آورده‌اند. دستگاه سوم هم پاسخی ندارد. دستگاه چهارم نیز یک پاسخ دارد که @fardina در پاسخ‌شان آورده‌اند. در نتیجه مجموعهٔ پاسخ‌های ممکن یک مجموعهٔ سه‌عضوی است.

\begin{align} 1^5\times 2^8\times 4^3\\ 1^4\times 2^5\times 8^3\\ 2^5\times 4^3\times 8^1 \end{align}
توسط good4us (5,380 امتیاز)
+1
AmirHosein@ پاسخ کامل ، خیلی عالی
+2 امتیاز
توسط shahabmath (355 امتیاز)
$ 8^{3} \times 2^{5} \times 1^{4}= 2^{14} $
+2 امتیاز
توسط good4us (5,380 امتیاز)
$ 2^{8} \times 4^{3} \times 1^{5}=2^{14} $

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...