چون حاصل سمت راست تنها شمارندهاش ۲ است پس عددهای ۳ و ۵ نمیتوانند در پایههای سمت چپ گذاشتهشوند. در نتیجه برای چینش پایهها چهار حالت بیشتر نداریم. توجه کنید که جابجایی در ضرب تغییری ایجاد نمیکند بنابراین بدون کاستن از کلیت سه پایه را به ترتیب کوچکتر به بزرگتر گذاشتهایم و جایگشتهایشان را به عنوان حالت مستقل در نظر نمیگیریم.
\begin{align}
1^a\times 2^b\times 4^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,5,8\rbrace\\
1^a\times 2^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,4,5\rbrace\\
1^a\times 4^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 2,3,5\rbrace\\
2^a\times 4^b\times 8^c=2^{14} &,\quad a,b,c\in\lbrace 1,3,5\rbrace\\
\end{align}
که به ما چهار دستگاه تکبرابری با سه مجهول میدهد با فضای پاسخ متناهی.
\begin{align}
b+2c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,5,8\rbrace\\
b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 3,4,5\rbrace\\
2b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 2,3,5\rbrace\\
a+2b+3c=14 &,\quad a,b,c\in\lbrace 1,3,5\rbrace\\
\end{align}
هر یک از این برابریها ۶ سهتایی مرتب به عنوان نامزد برای پاسخ ممکن دارند (توجه کنید که از ابتدا فرض کردهایم که هر عددی تنها در یک مربع در پرسش اصلی میتواند استفاده شود). که خیلی راحت خیلی از این نامزدها را میتوان حذف کرد برای نمونه برای $c$ نمیتوان از ۵ و ۸ استفاده کرد. دستگاه یکُم یک پاسخ دارد که @good4us در پاسخشان آوردهاند. دستگاه دوم یک پاسخ دارد که @shahabmath در پاسخشان آوردهاند. دستگاه سوم هم پاسخی ندارد. دستگاه چهارم نیز یک پاسخ دارد که @fardina در پاسخشان آوردهاند. در نتیجه مجموعهٔ پاسخهای ممکن یک مجموعهٔ سهعضوی است.
\begin{align}
1^5\times 2^8\times 4^3\\
1^4\times 2^5\times 8^3\\
2^5\times 4^3\times 8^1
\end{align}
