به نظر می رسد صورت سوال به خوبی مطرح نشده است. در هر حال، جوابی برای سوال مشابهی که احتمالا مد نظر فرد پرسشگر بوده است، در اینجا می نویسم.
سوال: مثلثی به دلخواه در صفحه رسم میکنیم. احتمال اینکه این مثلث منفرجه الزاویه باشد، چقدر است؟
قبل از هر چیزی توجه میکنیم که هر مثلثی تنها ممکن است یک زاویه منفرجه داشته باشد. نکته بعدی این است که این مساله ممکن است جواب های متفاوتی داشته باشد. به طور خلاصه، جواب به این بستگی دارد که زوایای مثلث برای ما اهمیت داشته باشد یا اضلاع آن. اگر زوایا مورد بررسی قرار گیرند و آنها را $x,y,z$ بنامیم، آنگاه باید احتمال رخ دادن یکی از $x>90^{\circ}$، $z>90^{\circ}$، $y>90^{\circ}$ با شرط $x+y+z=180^{\circ}$ را محاسبه کنیم. با رسم کردن $x+y+z=180^{\circ}$ در فضا مثلثی متساوی الاضلاع حاصل میشود. تمام حالات نامطلوب درون مثلثی متساوی الاضلاع قرار میگیرند که از وصل کردن نقاط وسط اضلاع مثلث حاصل از صفحه $x+y+z=180^{\circ}$ به دست می آید (چرا؟). در این صورت احتمال برابر $\frac{3}{4}$ است.
محاسبات در حالتی که اضلاع را در نظر بگیریم، متفاوت است. در این لینک به طور کامل به حل این دو حالت پرداخته شده است و تصاویر کاملا توضیحات بالا را نیز شفاف می کنند.
برای مطالعه بیشتر، این لینک نیز مفید است.
