در هر مثلث دلخواه احتمال اینکه یک زاویه این مثلث دلخواه زاویه منفرجه باشد چقدر است ؟

Question

در هر مثلث دلخواه (با هر زاویه ای) احتمال اینکه یک زاویه این مثلث دلخواه زاویه منفرجه باشد چقدر است ؟

Comments

از کلماتی حتما و قطعی بودن در مسئله احتمال استفاده کردید آیا منظور خاصی دارید؟ در مورد تلاش خودت هیچ اشاره ای نداشتید تا بتوانم راهنمایی لازم بکنم .کلا در چنین مسائلی که مطرح می شه احتمال صفر یا یک می باشه.

Answer 1

به نظر می رسد صورت سوال به خوبی مطرح نشده است. در هر حال، جوابی برای سوال مشابهی که احتمالا مد نظر فرد پرسشگر بوده است، در اینجا می نویسم.

---

سوال: مثلثی به دلخواه در صفحه رسم میکنیم. احتمال اینکه این مثلث منفرجه الزاویه باشد، چقدر است؟

---

قبل از هر چیزی توجه میکنیم که هر مثلثی تنها ممکن است یک زاویه منفرجه داشته باشد. نکته بعدی این است که این مساله ممکن است جواب های متفاوتی داشته باشد. به طور خلاصه، جواب به این بستگی دارد که زوایای مثلث برای ما اهمیت داشته باشد یا اضلاع آن. اگر زوایا مورد بررسی قرار گیرند و آنها را $x,y,z$ بنامیم، آنگاه باید احتمال رخ دادن یکی از $x>90^{\circ}$، $z>90^{\circ}$، $y>90^{\circ}$ با شرط $x+y+z=180^{\circ}$ را محاسبه کنیم. با رسم کردن $x+y+z=180^{\circ}$ در فضا مثلثی متساوی الاضلاع حاصل میشود. تمام حالات نامطلوب درون مثلثی متساوی الاضلاع قرار میگیرند که از وصل کردن نقاط وسط اضلاع مثلث حاصل از صفحه $x+y+z=180^{\circ}$ به دست می آید (چرا؟). در این صورت احتمال برابر $\frac{3}{4}$ است.

محاسبات در حالتی که اضلاع را در نظر بگیریم، متفاوت است. در این لینک به طور کامل به حل این دو حالت پرداخته شده است و تصاویر کاملا توضیحات بالا را نیز شفاف می کنند.

برای مطالعه بیشتر، این لینک نیز مفید است.

Answer 2

احتمال اینکه یک زاویه منفرجه باشد، برابر با صفر نیست زیرا در بسیاری از مثلث‌ها، حداقل یک زاویهٔ منفرجه وجود دارد. با این حال، احتمال اینکه همهٔ زوایای مثلث منفرجه باشند، برابر با صفر است؛ زیرا این یعنی که مثلث به شکل یک خط باشد که این امکان وجود ندارد. پس احتمال اینکه حداقل یک زاویهٔ منفرجه در مثلث وجود داشته باشد، بین صفر و یک است.

Answer 3

احتمال یافتن بزرگترین زاویه مثلث. محدود می کنیم بنابراین فضای نمونه بزرگترین زاویه هر مثلث بازه $[60, 180) $ می باشه که طول بازه 120 می باشه

فضای مطلوب هم برای بزرگترین زاویه بازه $(90, 180)$ می باشه که طول آن 90 می باشه بنابراین احتمال مورد نظر برابر است با $$ \frac{90}{120} = \frac{3}{4} $$