Question

درون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع واحد بزرگترین دایره ممکن را قرار میدهیم. اندازه مساحت دایره را بدست آورید

Answer 1

ابتدا باید شکل مثلث را رسم کنیم. سپس، با توجه به این که در دایره بزرگترین ممکن، قطر آن برابر است با ضلع مثلث، می‌توانیم قطر دایره را برابر با ضلع مثلث در نظر بگیریم.

با توجه به این که مثلث متساوی الاضلاع است، هر سه ضلع آن برابر با$ ۱$ هستند. بنابراین، قطر دایره نیز برابر با ۱ است.

حال باید مساحت دایره را بدست آوریم. فرمول مساحت دایره به صورت زیر است:

$S = πr^2$

در این فرمول، r شعاع دایره است. با توجه به این که قطر دایره برابر با $۱$ است، شعاع آن نیز برابر با نصف قطر، یعنی $۰٫۵$ است.

بنابراین، مساحت دایره به صورت زیر خواهد بود:

$S = π × ۰٫۵^۲ = ۰٫25π$

Comments

@mahdiahmadileedari استاد گرامی ظاهرا قطر دایره رو مساوی با ضلع مثلث گرفتید که به نظر اشتباه می یاد. البته شاید بنده مساله رو اشتباه متوجه شده باشم.

---

@mahdiahmadileedari درود بزرگترین دایره داخل یک مثلث متساوی الاضلاع دایره محاطی اون میشه که شعاع اون رادیکال سه سوم ضلع مثلث هست. دایره ای با قطر برابر ضلع مثلث داخل مثلث جای نمیگیره.

Answer 2

به شکل زیر توجه کنید:

در مثلثی کوچک AEG که یک مثلث قائم الزاویه است (I) می دانیم که زاویه A نصف 60 درجه یعنی 30 درجه است. طول AG نیز با توجه به اینکه نصف طول ضلع مثلث است برابر با 0/5 خواهد بود. بنابراین ما یک زاویه و یک ضلع را در یک مثلث قایم الزاویه داریم. لذا می توانیم با نسبت های مثلثاتی مابقی مقادیر را پیدا کنیم. $tan(A) = \frac{EG}{AG}= \frac{EG}{ \frac{1}{2} } \Rightarrow tan(30^{0} ) = \frac{ \sqrt{3} }{3}= \frac{EG}{ \frac{1}{2} } $

اگر طرفین وسطین کنیم خواهیم داشت:

$ EG= \frac{\sqrt{3}}{6} $

همانطور که در شکل مشخص است EG همان شعاع دایره است. بنابراین مساحت دایره برابر خواهد بود با:

$S= \pi (\frac{\sqrt{3}}{6})^{2}= \pi \frac{3}{36} = \frac{\pi }{12} $

قضیه (I): شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است. لذا پاره خط EG که شعاع دایره است بر خط مماس که ضلع AB است عمود است

Comments

کاملا درسته.