Question

حاصل انتگرال زیر را بیابید: $ \int \sqrt{ \frac{ln(x+ \sqrt{1+ x^{2} }) }{1+ x^{2} } }dx$ می‌توان روبروی ln را t بگیریم.

Answer 1

\prod $u=Ln(x+ \sqrt{1+ x^{2}}) \Rightarrow du= \frac{1+ \frac{2xdx}{2 \sqrt{1+ x^{2} } } }{x+ \sqrt{1+ x^{2} } }= \frac{ (x+ \sqrt{1+ x^{2} })dx }{ \sqrt{1+ x^{2}}(x+ \sqrt{1+x^{2} }) }= \frac{dx}{ \sqrt{1+ x^{2} } } \Rightarrow $ $I= \int \sqrt{ \frac{Ln(x+ \sqrt{1+ x^{2} }) }{1+ x^{2} } }dx$ $= \int \sqrt{ \frac{u}{1+ x^{2} } } \sqrt{1+ x^{2} } du$ $= \int \sqrt{u} du= \int u^{ \frac{1}{2} }du$ $= \frac{2}{3}u^{ \frac{3}{2} } +C$ $= \frac{2}{3} (Ln(x+ \sqrt{1+ x^{2} } )^{ \frac{3}{2} }+C$

$\Box $