$S_n= \frac{n}{2}[a+(n-1)d\Rightarrow \frac{S_n}{n} = \frac{1}{2} [a+(n-1)d]$
$\frac{S_{n_1}}{n_1} (n_2-n_3)+ \frac{S_{n_2}}{n_2} (n_3-n_1)+ \frac{S_{n_3}}{n_3}(n_1-n_2)$
$= \frac{1}{2} [a+(n_{1} -1)d]( n_{2} - n_{3} )+ \frac{1}{2} [a+( n_{2}-1)d]( n_{3} - n_{1} )+ \frac{1}{2} [a+(n_{3} -1)d]( n_{1} - n_{2} )$
$= \frac{1}{2}(a-d)[n_2-n_3+n_3-n_1+n_1-n_2]+ \frac{1}{2} [n_1(n_2-nn_3)+n_2(n_3-n_1)+n_3(n_1-n_2)]$
$=0+0+ \frac{1}{2} [n_1n_2-n_1nn_3+n_2n_3-n_2n_1+n_3n_1]$
$=0+0+0$
$=0$
