مسئله تاریخی دیوفانت

Question

دیوفانت ( از دانشمندان ریاضی یونانی ) کتابی دارد که امروز آن کتاب به عنوان سرمنشأ نطریه جبری اعداد شناخته می‌شود.

یکی از این مسائل این کتاب چنین است: سه عدد بیابید که مجموعشان یک مربع کامل و مجموع هر دوتای آن ها نیز مربع کامل باشد.

دیوفانت اعداد را ۴۰ ، ۸۱ و ۳۲۰ را به عنوان جواب این مسئله پیشنهاد کرد. در مقاله ای که خواندم توضیح نداده بود که چطور این اعداد را دیوفانت کشف کرد؟ با حدس و خطا؟ شما می دانید؟

Comments

جمع 40 و 320 برابر 360 می باشه اما 360 مربع کامل نیست، بنظر مثال اشباه نوشته شد؟؟؟

---

@amir7788 و @mmvf20041383 : با درود به همراهان گرامی. با کدنویسی مثالهای زیر را تا $1000$ بدست آوردم. سعی میکنم راه حلش را هم پیدا کنم.
$(41,80,320),(57,112,672),(66,464,560),(88,168,273),(136,264,825),(144,585,640),(280,345,744),(385,456,840),(720,801,880)$

---

در سوال گفته شد که مجموع هر دو تای آن مربع کامل باشه اما مجموع 40 و 320 مربع کامل نیست پس مثال ارائه شده اشتباه است؟؟؟؟؟ با توجه به کد نویسی براد آهنگرپور باید 40 و 81 به 41 و 80 تغییر داد

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. مشابه این مسئله را قبلاً بکمک شما بتفصیل حل کردیم. تفاوت این مسئله در این است که مجموع سه عدد هم باید مربع کامل باشد که میتواند چالشی باشد.

Answer 1

این مساله جواب های بسیاری دارد و در اینجا سعی می کنیم تعدادی از جواب ها و راهبردهای مفید را ارایه کنیم. بهتر است اینگونه نگاه کنیم که اگر $2d^2=a^2+b^2+c^2$ باشد، آنگاه:

$$x=d^2-a^2, \\ y=d^2-b^2, \\ z=d^2-c^2,$$

در شرط مساله صدق می کنند (چرا؟). پس منطقی است به دنبال جواب های $2d^2=a^2+b^2+c^2$ بگردیم و این احتمالا همان راهکاری است که دیوفانت نیز در پیش گرفته بود. حال طبق قضیه ی سه-مربع لژاندر (اینجا را ببینید) هر گاه $a$ به صورت $4^s(8k+7)$ نباشد معادله مذکور الزاما دارای جواب است هرچند ممکن است اعداد جواب متمایز نباشند. یکی از جواب ها به صورت زیر است:

$$a=3m^2+2mn-n^2, \\ b=3m^2-2mn-n^2, \\ c=4mn, \\ d=3m^2+n^2. $$

همچنین، در این لینک جواب های بسیار کلی و زیبایی را مشاهده خواهید کرد. گفتنی است جواب های ارایه شده در این نوشته از این منبع برداشته شده است.