خیر.
در اینجا من از نماد کروشه برای معرفی مجموعه استفاده می کنم.
فرض کنید $X=[1,2,3]$ و $S=[ \phi ,[3],[1,2],X]$ به آسانی می توان بررسی کرد که $S $ یک سیگما جبر است و $ \mu :S \longrightarrow [0, \infty ]$ که به صورت زیر تعریف می شود یک تابع اندازه است:
$ \mu ( \phi )=0, \mu ([3])= \mu ([1,2])=1, \mu (X)=2$
حالا ملاحظه می شود که که اندازه های بیرونی به صورت زیر به دست می آیند:
$ \mu ^*([1])=1$
$ \mu ^*([2]|)=1 $
$\mu ^*([1,2])=1 $
حالا اگر قرار دهیم $A=[1,2]$ و $E=[1]$ آنگاه:
$ \mu ^(A \cap E)+ \mu^(A \cap E' )$
$=\mu^([1])+ \mu^([2]|)=1+1+2>1$
$= \mu^*(A) $
و این نشان می دهد که $E$ اندازه پذیر نیست.
مثالی دیگر:
فرض کنید که $E=r_1,r_2,r+3,...$ نمایش اعداد گویای بازه $[-1,1]$ باشد.رابطه $ \simeq $ را روی بازه $[0,1]$ به صورت زیر تعریف کنید:
$x \simeq y \Leftrightarrow x-y \in Q$
واضح است که $ \simeq $ یک رابطه هم ارزیست .
حالا فرض کنید $E$ تشکیل شده از نماینده های فقط یک عضو از رده های هم ارزی رابطه بالا باشد به برهان خلف نشان می دهیم $E$ اندازه پذیر نیست.
فرض می کنیم اندازه پذیر باشد.
برای هر $n \in N$ قرار دهید $E_n=r_n+E$.و چون اندازه لبگ $ \Lambda $ نسبت به انتقال پایاست پس:
$ (\lambda ^(E_n)= \lambda ^(E))$
و چون برای هر $n,m \in N,m \neq n$ داریم $ E_n \neq E_m$ پس با توجه به اینکه $[0,1] \subseteq \cup _{n=1}^ \infty E_n \subseteq [-1,2]$
و ویژگی اندازه بیرونی لبگ مشخص می شود که اندازه اجتماعها مساوی صفر است
ولی چون اجتماعها شامل $[0,1]$ هستند باید اندازه بیرونیشان بزرگتر یا مساوی $1$ باشد که تناقض است.
$ \Box $
توجه:
بیشتر کتابهای در زمینه اندازه که من دیدم مستقیم فضای توابع اندازه پذیر را معرفی می کنند و آموزش انتگرال را پیش می گیرند.اما کتاب (چارالامبوس د.آلیپرانتیس و اوئن برکین شاو) و امثال هم روند دیگری را دارند.اول جبر و نیم حلقه را تعریف میکنند سپس اندازه را تعریف میکنند و بعدش اندازه بیرونی و در حین کار مجموعه های اندازه پذیر را با استفاده از ابزار اندازه بیرونی تعریف میکنند.من این کتابها را می پذیرم.چون صرفا با تعریف مجموعه های اندازه پذیر را نمی شناسی.با ساختار جالبی که دارند می شناسی.
