آیا همواره داریم $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}f'(x)$؟

Question

درود خدمت همهٔ کاربران و اساتید

$$\large\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}f'(x)$$

آیا می‌توان گفت که تساوی بالا همواره درست است؟

به‌طور شهودی و از روی نمودار احساس می‌کنم که این موضوع درسته (چون تابع $f$ و خط مماس بر آن در نقاط نزدیک به نقطهٔ $a$ مقادیر تقریباً یکسانی دارند). اما چطور میشه اون رو با استفاده از تعریف حد و مشتق اثبات کرد؟

Comments

سلام
واضح است که برقرار نیست، اما سوالتون میتونست که بهتر مطرح بشه مثلا بگیم چه موقع برابرند

Answer 1

گزاره درست نیست.

تابع زیر را در $R$ در نظر بگیرید:

$f(x)=x^2+x \Rightarrow f' (x)=2x+1$

حالا حد تابع و مشتقش را در $0$ بررسی کنید:

$ \lim_{x\to 0} f(x)=0 \neq \lim_{x\to 0} f' (x)=1$

$ \Box $

Answer 2

نوشتید به طور شهودی ... . شهود مشتق چیست؟ شیبِ خط مماس، نه عرضِ خط مماس! اشتباه‌تان در این است. اکنون پس از تصحیح اشتباه‌تان، به نظرتان شیب خط مماس مقدارش (مقدارِ شیبِ خط مماس، نه مقدارِ خطِ مماس) برابر با مقدار تابع است؟ خم $y=x^2$ را در نظر بگیرید. در $x=1$ مقدار تابع ۱ است. اگر قرار بود شیب خط (که به مشتق مربوط می‌شود) برابر با ۱ باشد آنگاه باید خط مماس در این نقطه موازیِ نیمساز یک‌چهارم یکُم و سوم باشد (یعنی زاویهٔ ۴۵ درجه بسازد)، آیا چنین است؟ یا $y=x^2+1$. در $x=0$ مقدارش ۱ است ولی آیا خط مماس موازی نیمساز یک‌چهارم یکم و سوم است؟ خیر، بلکه موازی خود محور $x$ها است (یعنی زاویهٔ ۰ درجه می‌سازد) پس شیب برابر صفر است نه یک!