اول فرض کنید که $H=C^*$.
بنابراین:
$ \forall z \in C^*:Hz=C^*z=C^*=H$
$ \Rightarrow [C^*:H]=[C^*:C^*]=1$
یعنی اندیس $H$ در $C^*$ متناهی است.
حالا بر عکس فرض کنید که اندیس $H$ در $C^*$ متناهی باشد و
$H,Hz_1,...Hz_{m-1}$
همدسته های راست $H$ باشند.
واضح است که چون $C^*$ آبلی است
گروه خارج قسمتی $ \frac{C^*}{H} $ تعریف شده است
و دارای $m$ عضو است
و برای هر $z \in C^*$ داریم:
$ (Hz)^ {o( \frac{C^*} {H} ) }$
$=(Hz)^m=Hz^m$
$=e_{ \frac{C^*}{H} }$
$=H$
$ \Rightarrow z^m \in H $
حالا فرض کنید که $w \in C^*$ دلخواه باشد بنابه خواص اعداد مختط معادله $z^m=w$ جواب دارد.اگر $z_0$ یکی از این جوابها باشد آنگاه:
$w=z_0^m,z_0^m \in H \Rightarrow w \in H \Rightarrow C^* \subseteq H \subseteq C^* \Rightarrow H=C^*$
$ \Box $
