قدر مطلق در معادلهٔ زیر چطور آزاد میشه؟

Question

سلام. در اثبات حل معادلات درجه دوم به روش فرمول کلی به مرحلهٔ زیر رسیدم: $ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2 $ حال اینجا طبق قواعد جبری داریم: $$ x + \frac{b}{2a} = ± \sqrt{ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} } $$ فلذا داریم: $$ x = -\frac{b}{2a} ± \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{4a^2} } $$

الان اون عبارت $ \sqrt{4a^2} $ در مخرج برابر با $ | 2a | $ هست. ولی چرا در فرمولی که در منابع معتبر ریاضی ارائه می‌شه این قدر مطلق در مخرج وجود نداره؟ آیا این قدر مطلق با نماد ± ساده می‌شه؟ $$ x = \frac{ -b ± \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} $$

Answer 1

به حاصل $ \frac{x}{|y|} $ در دو حالت توجه کنید:

$1)if y>0 \Rightarrow ±\frac{x}{|y|}=± \frac{x}{y}= \frac{x}{y} \vee -\frac{a}{y} $

$2)if y< 0 \Rightarrow ± \frac{x}{|y|} =± \frac{x}{-y}=-\frac{x}{y} \vee \frac{x}{y} $

می بینید که فقط ترتیب گزاره های نتیجه فرق میکند و نتیجه یکی است چون ترکیب گزاره های فصلی و عطفی مهم نیست.

$ \Box $

Answer 2

زیر رادیکال یک عدد همیشه است بنابراین مثبت از زیر رادیکال بیرون می آید و نیازی به \pm ندارد.

Comments

نه.به صورت قدر مطلق بیرون میاد.حاصل قدر مطلق همیشه مثبت است.