اگر اضلاع دو مربع به هم چسبیده زیر چزو اعداد طیبیعی متوالی باشد و مساحت قسمت هاشور خورده برابر با 3/38 باشد مساحت مربع کوچک چقدر است؟

Question

مساحت قسمت هاشور خورده ( مثلث بزرگتر ) برابر با 3/38 است و اضلاع دو مربع جزو اعداد طبیعی متوالی هستند. مساحت مربی کوچک تر چقدر است ؟

Answer 1

مساحت مثلت کوچک را $x$ و اضلاع مربع ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ $n$ و $n+1$ بگیرید.حالا مساحت ذوزنقه را به دو روش بیابید و مساوی هم قرار دهید:

$ \frac{n+n+1}{2}(n+n+1)=(n+1)^2+n^2-3.38+x$

$\Rightarrow (2n+1)^2=2(n+1)^2+2n^2-2 \times 3.38+2x$

$\Rightarrow 4n^2+4n+1=4n^2+4n+2-6.76+2x \Rightarrow 2x=6.76+1-2=5.76$

$ \Rightarrow x=2.88$

از طرفی دیگر دو مثلت متشابه اند (ززز) و می دانیم که نسبت مساحتها برابر است با مجذور نسبت اضلاع.بنابر این:

$ \frac{n+1}{n} = \sqrt{ \frac{3.38}{2.88}}= \sqrt{ \frac{2 \times 1.69}{2 \times 1.44} } = \sqrt{ \frac{1.69}{1.44} }= \frac{1.3}{1.2}= \frac{13}{12} \Rightarrow1+ \frac{1}{n} =1+ \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow n=12$

$ \Box $