$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$

Question

در معادله ی زیر

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$

$y$را برحسب$x$بدست بیاورید؟

خیلی ممنون.

Answer 1

اگر ضریب $y^{2}$ یعنی $c$ صفر باشه کافیه تمام جملاتی که $y$ ندارند را به طرف دیگر ببریم و در طرفی که $y$ دارند از $y$ فاکتور بگیریم:

$$y(bx+e)=-ax^2-dx-f \Rightarrow y= \frac{-ax^2-dx-f}{bx+e}$$

حال فرض کنید که $c$ صفر نباشه کافیه معادله را نسبت به $y$ مربع کامل کنیم ابتدا معادله را بصورت زیر می نویسیم:

$$cy^2+y(bx+e)+ax^2+dx+f=0$$ برای مربع کامل کردن ضریب توان دو باید $1$ باشه لذا طرفین را بر $c$ تقسیم میکنیم و معادله ی زیر را خواهیم داشت: $$y^2+y \frac{(bx+e)}{c} +\frac{a}{c}x^2+ \frac{d}{c}x+ \frac{f}{c}=0$$ جمله ی $\frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} }$ را اضافه و کم میکنیم تا $3$ جمله اول برابر $(y+ \frac{(bx+e)}{2c} )^{2}$ شود و بقیه جملات را به طرف دیگر می بریم: $$(y+ \frac{(bx+e)}{2c} )^{2} = \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}$$ حال از طرفین رادیکال میگیریم و جمله غیر $y$ را به طرف دیگر می بریم:

$$y+ \frac{(bx+e)}{2c}= \underline{+} \sqrt{ \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}} \Rightarrow$$ $$y= \underline{+} \sqrt{ \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}} - \frac{(bx+e)}{2c}$$