اگر ضریب $y^{2} $ یعنی $ c $ صفر باشه کافیه تمام جملاتی که $ y$ ندارند را به طرف دیگر ببریم و در طرفی که $y$ دارند از $y$ فاکتور بگیریم:
$$ y(bx+e)=-ax^2-dx-f \Rightarrow y= \frac{-ax^2-dx-f}{bx+e} $$
حال فرض کنید که $ c $ صفر نباشه
کافیه معادله را نسبت به $y $ مربع کامل کنیم ابتدا معادله را بصورت زیر می نویسیم:
$$cy^2+y(bx+e)+ax^2+dx+f=0$$
برای مربع کامل کردن ضریب توان دو باید $1$ باشه لذا طرفین را بر $c$ تقسیم میکنیم و معادله ی زیر را خواهیم داشت:
$$y^2+y \frac{(bx+e)}{c} +\frac{a}{c}x^2+ \frac{d}{c}x+ \frac{f}{c}=0$$
جمله ی $ \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } $ را اضافه و کم میکنیم تا $3$ جمله اول برابر $(y+ \frac{(bx+e)}{2c} )^{2} $ شود و بقیه جملات را به طرف دیگر می بریم:
$$(y+ \frac{(bx+e)}{2c} )^{2} = \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}$$
حال از طرفین رادیکال میگیریم و جمله غیر $y$ را به طرف دیگر می بریم:
$$y+ \frac{(bx+e)}{2c}= \underline{+} \sqrt{ \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}} \Rightarrow $$
$$y= \underline{+} \sqrt{ \frac{ (bx+e)^{2} }{4 c^{2} } -\frac{a}{c}x^2- \frac{d}{c}x- \frac{f}{c}} - \frac{(bx+e)}{2c}$$
