جبر خطی , بعد در فضای برداری

Question

سلام وقت بخیر

که $V_1 ,V_2$ دو فضای برداری روی میدان $K$ هستند نشان دهید

$dim_{K} (V_1×V_2)=dim _{K} V_1 + dim _{K} V_2$

Answer 1

فرض کنید که $S_1$ و $S_2$ به ترتیب پایه هایی برای $V_1$ و $V_2$ روی میدان $K$ باشد.(بنا به اصل ماکسیمال هاسدورف یا تسورن (زورن) این پایه ها وجود دارند).به راحتی میتوان نشان داد که

$S_1 \times 0_{V_2} \cup 0_{V_1} \times S_2$

پایه ای برای فضای برداری $V_1 \times V_2$ روی میدان $K$ است.(؟)

$dim_k(V_1 \times V_2)=card(S_1 \times 0_{V_2} \cup 0_{V_1} \times S_2)$

$=card(S_1 \times 0_{V_2})+card(0_{V_1} \times S_2) [(?)]$

$=cardS_1+cardS_2=dim_KV_1+dim_KV_2$

$ \Box$

منظور از $0_V{_i}$ صفر فضای برداری $V_i$ است.