برای $1 \leq i \leq n$ تعریف می کنیم $ f_{i} (y)=|y- a_{i} |$. اول دقت می کنیم که $ f_{i} (y) $ در $ a_{i} $ مشتق پذیر نیست. حالا میریم تا شرط استقلال خطی رو بررسی کنیم. ترکیب خطی این توابع رو مساوی صفر درنظر می گیریم
$$ c_{1}f_{1} (y)+ c_{2} f_{2} (y)+...+ c_{n} f_{n} (y)=0 $$
فرض کنیم مستقل خطی نباشن و مثلا $ c_{i} \neq 0 $. در این صورت با تقسیم بر $ c_{i} \neq 0 $ داریم
$$ f_{i} (y)= m_{1}f_{1} (y)+...+ m_{i-1} f_{i-1} (y)+ m_{i+1} f_{i+1} (y)+...+ m_{n} f_{n} (y) $$
حالا بدیهیه که $f_{j} (y)$ها برای $1 \leq j \leq n, j \neq i$ در نقطه $ a_{i} $ مشتق پذیرند. پس $f_{i} (y)$ در نقطه $ a_{i} $
مشتق پذیر که تناقض آشکاریه. پس استقلال خطی ثابت شده است.
