به معادله خط و سهمی توجه کنید:
$y=f(x)=mx+c \Rightarrow f(0)=m \times 0+c=0+c=c$
این نشان می دهد که خط از $(0,c)$ می گذرد که نقط برخور خط با محور $y$ هاست.(اگر خط ما موازی محور $y$ باشد به صورت $x=d$ است که فقط زمانی محور $y$ ها را قطع می کند که $d=0$). حالا سهمی:
$y=g(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow g(0)=a \times 0^2+b \times 0+c=0+0+c=c$
این نشان می دهد که سهمی از نقطه $(0,c)$ می گذرد که نقطه برخور سهمی با محور $y$ هاست.حالا (به قول شما) جهت دهانه سهمی:
$y=g(x)=ax^2+bx+c=a(x^2+ \frac{b}{a} x+ \frac{c}{a} )=a(x^2+ \frac{b}{a} x+ \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} )$
$=a[(x- \frac{a}{b} )^2- \frac{b^2-4ac}{4a^2} ]$
حالا اگر خوب دقت کنیم داخل کروشه برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ و کوچک مثبت است.پس علامت تابع سهمی ما به علامت $a$ بستگی دارد که برای $a>0$ مثبت (دهانه به سمت بالا ) و برای $a< 0$ منفی (دهانه به سمت پائین) است.دقیقتر:
$ \lim_{x\to \infty } (ax^2+bx+c)= \lim_{x\to \infty } ax^2=a \times (+ \infty )$
که به علامت $a$ بستگی دارد.
$ \Box $
