به معادله خط و سهمی توجه کنید:
y=f(x)=mx+c \Rightarrow f(0)=m \times 0+c=0+c=c
این نشان می دهد که خط از (0,c) می گذرد که نقط برخور خط با محور y هاست.(اگر خط ما موازی محور y باشد به صورت x=d است که فقط زمانی محور y ها را قطع می کند که d=0). حالا سهمی:
y=g(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow g(0)=a \times 0^2+b \times 0+c=0+0+c=c
این نشان می دهد که سهمی از نقطه (0,c) می گذرد که نقطه برخور سهمی با محور y هاست.حالا (به قول شما) جهت دهانه سهمی:
y=g(x)=ax^2+bx+c=a(x^2+ \frac{b}{a} x+ \frac{c}{a} )=a(x^2+ \frac{b}{a} x+ \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} )
=a[(x- \frac{a}{b} )^2- \frac{b^2-4ac}{4a^2} ]
حالا اگر خوب دقت کنیم داخل کروشه برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ و کوچک مثبت است.پس علامت تابع سهمی ما به علامت a بستگی دارد که برای a>0 مثبت (دهانه به سمت بالا ) و برای a< 0 منفی (دهانه به سمت پائین) است.دقیقتر:
\lim_{x\to \infty } (ax^2+bx+c)= \lim_{x\to \infty } ax^2=a \times (+ \infty )
که به علامت a بستگی دارد.
\Box