چون شکلها متقارن اند من شکلها را در دستگاه دکارتی سه بعدی طوری مجسم می کنم که مرکز آنها در مبدأ باشد.استوانه ها را یکی در راستار محور $x$ ها ($y^2+z^2=4$) و یکی در راستای محور $y$ ها ($x^2+z^2=4$) در نظر میگیرم.حالا اگر ناحیه محدود به مکعب در زیر مکعب و استوانه ها را در ناحیه اول در نظر بگیریم این محدوده خود دو تکه برابر است که تصویر این حجم روی صفحه $xy$ به صورت مربعی به طول $2$ است که توسط خط $y=x$ دو نصف برابر شده است.در طرف راست این مساحت در بالا به استوانه گذرنده از محور $y$ ها و از سمت چپ مساحت از بالا به استوانه گذرنده از محور $x$ ها محدوده.اگر یکی از این حجم ها را بیابیم و در $16$ ضرب کنیم جواب سؤال را یافتیم.
توضیح:
$[y^2+z^2=x^2+z^2=4 \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow y=x$
پس مکان هندسی برخورد استوانه ها دو صفحه عمود برهم $y=x$ و $y=-x$ است که تصویر این صفحه روی صفحه $xy$ برابر خط $y=x$ است]
من این مقدار (سمت چپ) را $A$ می نامم:
$A= \int _0^2 \int _0^x\int _0^ \sqrt{4-y^2} dzdydx=2 \pi - \frac{8}{3} $
پس حجم آن قسمت از استوانه ها که در داخل مکعب است برابر است با:
$16(2 \pi - \frac{8}{3} )$
لذا اگر این مقدار را از حجم مکعب کم کنیم جواب مسأله می شود یعنی:
$4^3-16(2 \pi - \frac{8}{3}) \approx 6.1357$
$ \Box $
